Относительность механического движения.

Покой и движение тел относительны и определяются выбором тела отсчета (системы отсчета). Например, сидящий в вагоне движущегося поезда пассажир покоится относительно вагона и движется относительно полотна дороги.

Абсолютным называется движение тела относительно системы, условно принятой за неподвижную.

Система, совершающая движение относительно неподвижной системы, называется движущейся или подвижной.

Относительным называется движение тела относительно подвижной системы. Переносным называется движение подвижной системы относительно неподвижной. Пусть положение т. А определено в двух системах отсчета: неподвижной OXYZ и подвижной O'X'Y'Z'

 

 

неподвижной системе положение т. А определяются радиус-вектором в подвижной –, а положение начала подвижной системны относительно неподвижной определяются вектором.

 

Как видно из рисунка, связь между радиус-векторами и, определяющими положение точки в обеих системах отсчета выражается соотношением:

Легко видеть, что аналогично связаны и векторы скорости в этих системах (абсолютная и относительная):

Системы, в которых выполняется законы Ньютона, называют инерциальными. Инерциальные - это такие системы отсчета, в которых ускорение вызывается только действием сил, а сами силы появляется только в результате взаимодействий тел.

Предположим, что две системы отсчета находятся в относительном движении.

Если тело С покоится относительно системы А, то оно движется равномерно и прямолинейно относительно подвижной системы, пока к телу отсчета В не приложены силы. Если же к телу отсчета В приложить силу, система начнет двигаться ускоренно относительно системы А и, соответственно. тело С относительно нее получит ускорение, хотя на него и не действуют силы. Основной закон динамики нарушается. Поэтому инерциальные системы отсчета связаны только со свободными телами отсчета.

Галилеевы преобразования координат и закон сложения скоростей.

Предположим, что одна из систем отсчета неподвижна, а другая - движется относительно первой с постоянной скоростью, так что оси ОХ,O’Х' и OY,0'Y' остается параллельными, а ось 0'Y' скользит вдоль OY со скоростью (рис.30).

 

 

Положение т. А можно задать векторным и координатным способами в обеих системах отсчета. Будем считать, что в исходный момент времени системы полностью совпадают. Тогда к моменту времени t, измеренному в неподвижной системе, подвижная система совершит перемещение. Координаты т. А в двух системах отсчета связаны соотношениями:

х' = х z'=z

Опыт показывает, что течение времени в обеих системах одинаково:

t'=t

Совокупность соотношений и представляет собой преобразования Галилея в координатной форме.

Более компактную форму принимают преобразования Галилея, если положение т. А определять векторным способом:

Справедливы и преобразования Галилея для обратного перехода:

х = х' z=z'

t=t’

t = t'

 

Постулаты Эйнштейна.

В основе специальной теории относительности, прежде всего, лежит факт постоянства скорости света в различных системах отсчета, что противоречит классическому закону сложения скоростей. Кроме того, нет никаких оснований считать, что механические опьггы позволят отличить одну инициальную систему отсчета от другой. Это позволило Эйнштейну сформулировать исходные постулаты специальной теории относительности.

Постулат о постоянстве скорости света: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника и приемника света.

Постулат относительности (общефизический принцип относительности): Никакими физическими опытами нельзя отличить одну инерциальную систему отсчета от другой. Наряду с этими постулатами Эйнштейн ввел принцип синхронизации часов, имеющий такое же значение в теории относительности, как и сформулированные выше постулаты.

Для того, чтобы одинаковые по устройству часы А и В (рис.31)

 

 

шли одинаково, необходимо их синхронизировать. Пусть в момент времени, отсчитанный по часам А, в том месте, где они находятся, осуществляется световая вспышка. Сигнал от нее достигает часов В, мгновенно отражается и поступает к часам А в момент времени, отсчитанный по ним. Часы А и В считаются синхронизированными, если в момент отражения сигнала в т. В показания часов равны:

 

"Радиолокационный" метод (метод коэффициента "k ").

Движение тел можно графически представлять диаграммами x=x(t). В случае скоростей, сравнимых со скоростью света, масштаб х и t выбирается таким, что траектория светового сигнала ("световая линия") делит координатный угол пополам. Если же тело движется со скоростью, меньшей скорости света, угол наклона его траектории к оси t меньше 45°.

Предположим, что две инерциальные системы отсчета А и В находятся в относительном движении. Систему А условно считаем неподвижной. В исходный момент времени системы полностью совпадали. В этот момент осуществляется синхронизация подвижных и неподвижных часов и на них устанавливаются нулевые показания. Далее система В удаляется от А со скоростью v<c (рис.32).

 

 

Затем в системе А производится вторая вспышка в момент времени t, измеренный по часам А. Сигнал от нее догоняет систему В в момент времени, измеренный по часам В в подвижной системе, а показания неподвижных часов А для этого события равны. Сигнал мгновенно отражается и приходит в систему А в момент времени, отсчитанный по часам А.

Предположим, что показания подвижных часов в момент отражения сигнала в k раз отличаются от показаний неподвижных часов t в момент посылки сигнала:

= kt

Системы равноправны, поэтому с момента отражения неподвижной можно считать систему В, а систему А - подвижной. Тогда показания часов А в момент приема сигнала равны:

С момента синхронизации до отражения сигнала система В и световой сигнал, посланный в момент времени t (по часам А), проходят одинаковый путь:

 

т.е

 

откуда получаем значение коэффициента k:

Следовательно, показания подвижных часов в момент приема сигнала всегда больше показаний неподвижных часов в момент посылки сигнала:

18. "Замедление" хода времени.

Рассмотрим промежуток времени между двумя событиями (синхронизация часов и отражение сигнала), измеренный по часам А и В. Поскольку в момент синхронизации показания обоих часов нулевые, то промежуток времени численно равен показаниям часов в момент отражения сигнала. Обозначив промежуток времени, измеренный по часам А и В, соответственно и, отношение этих показаний запишем в виде:

 

 

Следовательно, промежуток времени между двумя событиями, измеренный подвижными часами, меньше результата того же измерения по неподвижным часам.

Относительная скорость.

Предположим, что системы А, В и D находятся в относительном движении. В исходный момент все три системы совпадали. В этот момент производим синхронизацию всех часов и устанавливаем на них нулевые показания. Далее система В удаляется от А со скоростью v₁, а система D - со скоростью v₂ >v₁. В момент времени t (пo часам А) в системе А производится световая вспышка, сигнал от которой достигает

 

 

системы В в момент t_B =k₁t (по часам В) и системы D в момент t_D = k₂t (по часам D ). При этом:

Теперь будем считать систему В неподвижной, а систему D - удаляющейся от B с относительной скоростью и. Тогда:

Следовательно:

откуда: Это и есть выражение для относительной скорости.

 

19. Сравнение поперечных размеров тел.

 

Пусть две системы OXYZ и O'X'Y'Z' находятся в относительном движении. Одну из них, OXYZ, считаем неподвижной, другая же движется со скоростью v относительно первой так, что оси ОХ, 0'Х' и 0Z, О’Z' остаются параллельными, а ось О’Y' скользит вдоль оси OY. В подвижной системе вдоль оси O'Z' расположены "световые часы" (жесткий стержень с двумя зеркалами на концах, отражающими поверхностями друг к другу) так, что нижнее зеркало совпадает с началом системы отсчета (рис.34). В исходный момент, когда системы полностью совпадали, у нижнего зеркала произошла световая вспышка. Сигнал от нее достигает верхнего зеркала, отражается, приходит опять к нижнему зеркалу, и далее процесс повторяется периодически. Пусть по неподвижным часам промежуток

 

 

времени между вспышкой и приходом сигнала равен t. За это время в неподвижной системе световой сигнал проходит путь сt, а подвижная система - vt. Из рисунка видно, что длина световых часов, численно равная координате z верхнего зеркала, в неподвижной системе равна:

В подвижной системе, связанной с подвижными часами, длина их равна: z'=ct'

где: t ' - полупериод часов, т.е. промежуток времени между вспышкой и приходом сигнала к верхнему зеркалу.Учитывая эффект "замедления" хода времени, получаем:

 

т.е. поперечные размеры (по отношению к направлению движения) тел одинаковы в обеих системах отсчета: z'=z

Эффект "сокращения" длин.

 

 

Пусть теперь световые часы ориентированы вдоль оси подвижной системы так, что левое зеркало совпадает с ее началом. В исходный момент системы совпадали, и в этот момент у левого зеркала произошла вспышка. Сигнал от нее достигает правого зеркала через промежуток

времени t₁ по неподвижным часам (рис.35). Тогда:

где: l - длина световых часов, измеренная в неподвижной системе.

После отражения сигнал и левое зеркало движутся навстречу друг другу и встречаются в момент времени t₂ по неподвижным часам. Очевидно, что:

Период световых часов, измеренный в неподвижной системе, равен:

В подвижной системе период часов определяется соотношением:

где l' - длина часов, измеренная в подвижной системе.

 

 

Следовательно, продольные размеры тел в любой системе меньше собственных:

 

20. Преобразования Лоренца.

Преобразования Лоренца дают связь между пространственными и временными координатами событий в двух инициальных системах отсчета, находящихся в относительном движении.

Учитывая, что поперечные размеры тел одинаковы, получаем:

z'=z

х'=x

Для сравнения координат у обратимся к предыдущему примеру:

 

С другой стороны, это соотношение можно представить в виде:

 

 

Интервал. Инвариантность интервала.

Интервалом S между двумя событиями называют величину, квадрат которой равен:

 

где x_i,y_i,z_i,t_i - пространственные и временные координаты событий.

Используя преобразования Лоренца, запишем интервал в подвижной системе отсчета:

 

Таким образом, интервал является инвариантом S ^/2=S ²

В зависимости от соотношения между временной cΔt и пространственной частями интервала различают:

1.Времениподобные интервалы (cΔt > Δl).

2.Пространственноподобные интервалы (cΔt <s Δl).

3. Светоподобные интервалы (сΔt = Δl).

21. Релятивистская масса, релятивистский импульс.

 

Из факта предельности скорости света следует, что тела могут двигаться только со скоростями, меньшими скорости света. Если на тело действует постоянная сила, то его ускорение пропорционально силе лишь при малых скоростях. С ростом скорости при неизменной силе ускорение начинает уменьшаться, что можно объяснить только возрастанием массы тела с ростом скорости.

Масса тела, движущегося со скоростью n, равна:

 

Где, - масса тела в системе, связанной с ним, так называемая "масса покоя".

Соответственно, импульс тела определяется выражением: