Плоскопаралельним називають такий рух твердого тіла, під час якого всі точки тіла рухаються паралельно певній нерухомій площині, яку називають основною.

Багато механізмів, які зустрічаються на практиці, належать до так званих плоских механізмів. Тому вивчення плоскопаралельного руху тіла має істотне практичне значення.

Плоскопаралельний рух можна розглядати як окремий випадок руху вільного твердого тіла. У цьому випадку миттєва вісь обертання перпендикулярна до основної площини.

Покажемо, що з означення плоскопаралельного руху випливає можливість звести задачу вивчення руху тіла в просторі до задачі вивчення руху плоскої фігури в площині. Тіло перебуває в плоскопаралельному русі (рис. 2.23), площина – основна. Зробимо перетин тіла площиною, паралельною основній, і розглянемо рух прямої АВ, перпендикулярної до площини . За означенням плоскопаралельного руху рух прямої АВ – поступальний. Отже, рух довільної точки А цієї прямої визначає цей поступальний рух. Якщо повторити ці міркування для будь-якої точки плоскої фігури , то можна твердити, що рух тіла повністю визначається рухом фігури .

 

 

Рисунок 2.23

 

Складемо рівняння руху плоскої фігури. Виберемо дві системи координат: нерухому і незмінно зв’язану з плоскою фігурою . Положення системи координат повністю визначає положення плоскої фігури (рис. 2.24). Положення початку координат (точки О) відоме, якщо відомі її координати . Положення осей і визначається кутом . Отже, три параметри повністю визначають положення плоскої фігури. Якщо кожному моменту часу поставити у відповідність значення величин , то дістанемо рівняння, які є законом руху плоскої фігури:

; (2.69)

; (2.70)

. (2.71)

Структура цих рівнянь показує, що

рух плоскої фігури можна розглядати як складний: поступальний разом з полюсом О – рівняння (2.69), (2.70) і обертальний навколо полюса О рівняння 2.71.

Якщоперенести полюс із точки О в іншу точку, рівняння (2.71) не зміниться, зміняться лише рівняння(2.69) і (2.70). З цих міркувань можна зробити висновок:

при плоскопаралеьному русі твердого тіла характеристики обертального руху (кут повороту , кутова швидкість , кутове прискорення ) не залежать від вибору полюса.

Рисунок 2.24

Розглядаючи плоскопаралельний рух як окремий випадок руху вільного твердого тіла, можна зобразити і у вигляді векторів, перпендикулярних до площини руху тіла.

Рівняння руху довільної точки М тіла знайдемо, скориставшись формулами перетворення координат:

;

. (2.72)

2.2.7. Розподіл швидкостей точок тіла при
плоскопаралельному русі

Розглянемо плоскопаралельний рух тіла як окремий випадок руху вільного твердого тіла, скориставшись співвідношенням (2.64). Позначимо другий доданок у правій частині цього виразу

, (2.73)

де — швидкість обертального руху точки М плоскої фігури навколо полюса О. Тоді маємо (рис. 2.25)

. (2.74)

Цей вираз є законом розподілу швидкостей у тілі при плоскопаралельному русі.

 

Рисунок 2.25

Зауважимо, що вектор перпендикулярний до вектора .

Таким чином,

Швидкість довільної точки плоскої фігури дорівнює векторній сумі швидкостей полюса і обертального руху точки навколо полюса.

Із (2.74) можна зробити висновок, що в кожний момент часу існує точка, швидкість якої дорівнює нулеві, тобто . Цю точку Р, швидкість якої дорівнює нулеві, називають миттєвим центром швидкостей.

Якщо полюс вибрати в миттєвому центрі швидкостей, то на підставі (2.74)

.

Отже,

Швидкості точок плоскої фігури можна розглядати як швидкості її обертального руху навколо миттєвого центра швидкостей.

Тому миттєвий центр швидкостей називають ще миттєвим центром обертання.

Розглянемо побудову миттєвого центра швидкостей. Для цього існує кілька способів.

Спосіб 1. Якщо відома швидкість певної точки О фігури і миттєва кутова швидкість , то миттєвий центр Р швидкостей (рис. 2.26) знайдемо на прямій ОР, перпендикулярній до .
Дійсно, виберемо Р за полюс і знайдемо швидкість точки О:

;

і .

Рисунок 2.26

Звідси

.

Миттєвий центр швидкостей лежить на прямій РО, перпендикулярній до вектора на відстані . Відрізок РО відкладається від точки О у напрямі обертання тіла.

Спосіб 2. Нехай відомі прямі, уздовж яких напрямлені швидкості двох точок А і В плоскої фігури (рис. 2.27), і відома швидкість точки . Розглянемо швидкості і як швидкості обертального руху навколо миттєвого центра обертання Р. Ці швидкості мають бути перпендикулярні до радіусів обертання РА і РВ. Отже, проводимо і . У точці їх перетину знаходиться миттєвий центр Р швидкостей. Знаючи швидкість точки А, знаходимо напрям і величину миттєвої кутової швидкості , а також лінійну швидкість довільної точки С плоскої фігури. Для цього досить з’єднати то ч ку С з миттєвим центром швидкостей і провести перпендикуляр до СР. Напрям швидкості знаходимо згідно з напрямом обертання плоскої фігури навколо Р – миттєвого центра швидкостей. Модулі векторів швидкостей обчислюємо з пропорції

. (2.75)

Рисунок 2.27

Спосіб 3. Існує ще кілька окремих випадків визначення миттєвого центра швидкостей:

а) швидкості двох точок тіла паралельні, неоднакові і мають один напрям (рис. 2.28, а);

б) швидкості двох точок тіла паралельні, неоднакові і мають різні напрями (рис. 2.28, б);

 

а	б
Рисунок 2.28

 

в) швидкості двох точок тіла паралельні, однакові, напрямлені в один бік (рис. 2.29). У цьому разі миттєва кутова швидкість і тіло в цей момент часу виконує миттєвий поступальний рух;

г) у деяких випадках можна знайти положення миттєвого центра швидкостей з умови кочення без ковзання:

миттєвий центр знаходиться в точці дотику тіла з нерухомою поверхнею (рис. 2.30).

Зауважимо, що під час руху тіла положення миттєвого центра швидкостей змінюється.

Геометричне місце миттєвих центрів швидкостей, віднесене до рухомої або нерухомої системи координат, називають відповідно рухомою або нерухомою центроїдою.

Рисунок 2.29	Рисунок 2.30

 

З цією геометричною інтерпретацією плоскопаралельного руху пов’язана теорема Пуансо: