Классификация задач принятия решений

Классификация задач принятия решений

<Т, A, К, X, F, G, D>, где Т— постановка задачи

А — множество допустимых альтернативных вариантов;

К— множество критериев выбора;

Х— множество методов измерения предпочтений

F— отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок (исходы);

G — система предпочтений эксперта;

D — решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Рассмотрим традиционные классификации:

1) По виду отображения F. Отображение множества А и К может иметь детерминированный характер, вероятностный или неопределенный вид, в соответствии с которым задачи принятия решений можно разделить на задачи в условиях риска и задачи в условиях неопределенности.2) Мощность множества К. Множество критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В соответствии с этим задачи принятия решений можно разделить на задачи со скалярным критерием и задачи с векторным критерием 3) Тип системы G. Предпочтения могут формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого задачи принятия решений можно классифицировать на задачи индивидуального принятия решений и задачи коллективного принятия решений.

Задачи принятия решений в условиях определенности.

1. Задача должна быть хорошо формализована, т. е. имеется адекватная математическая модель реального объекта.

2. Существует некоторая единственная целевая функция, позволяющая судить о качестве рассматриваемых альтернативных вариантов.

3. Имеется возможность количественной оценки значений целевой функции.

4. Задача имеет определенные степени свободы, т. е. некоторые параметры функционирования системы, которые можно произвольно изменять в некоторых пределах в целях улучшения значений целевой функции.

Бинарные отношения и их свойства

Бинарное отношение R на непустом множестве X есть подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из X; множество всех упорядоченных пар задается прямым (декартовым) произведением

X X={(x, y): x X, y X}.

Запись xRy (читается: x находится в отношении R к y) означает, что (x, y) принадлежит бинарному отношению R. Наглядный способ задания бинарных отношений - с помощью ориентированного графа.

В паре <A, R>, где A - множество сравниваемых объектов (альтернатив); R - бинарное отношение на A. Задание бинарного отношения содержательно интерпретируется как введение некоторой системы предпочтений. Именно, если пара (a_i, a_k) R, где a_i A, a_k A, i,k= (n-мощность множества А), то подразумевается, что элемент a_i в определенном смысле “лучше” или “не хуже” элемента a_k. Пару <A, R> называют моделью выбора.

 

Бинарные отношения. Наилучший и максимальный элементы.

Поиск наилучших элементов:

На языке графов понятие наилучшего элемента a^* соответствует наличию вершины, соединенной исходящими из нее стрелками со всеми остальными вершинами графа. Если в графе такие вершины отсутствуют, то такое бинарное отношение наилучших элементов не содержит.

Максимальный элемент: элемент который имеет симметричные отношения со всеми элементами, с которыми соединен дугами.

 

Бинарные отношения. Внешне устойчивое множество.

Множество Мах_RA называется внешне устойчивым, если для любого элемента а А\ Мах_RA найдется такой элемент а⁰ Мах_RA, что справедливо отношение а⁰Ra. Множество элементов, имеющих связи со всеми остальными элементами системы.

 

Бинарные отношения. Транзитивность.

Отношение ˃ предпочтения на Х транзитивно, если из того, что x предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, следует, что х предпочтительнее, чем z. Транзитивность нарушается, если (х ˃ у, у ˃ z, x ˃ z) или (х ˃ у, у ˃ z, z ˃ х) для некоторых х, у и z из Х.

Отношение безразличия (~) на Х транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно,

если существуют х, у и z, для которых х~у, y~z и x~z.

 

Полезность «богатства». Функция полезности v(x) стремления к риску.

функцией стремления к риску, если она строго выпукла на некотором интервале и v(х)+(1- )v(у)=v( х+(1- )y).

 

Принцип устойчивости Нэша.

по имени автора - американского математика Джона Нэша. Он гласит, что выбор рациональной стратегии h должен производиться среди множества точек равновесия. Равновесные решения называются так же оптимальными по Нэшу. Данный принцип отражает очень важное свойство коллективного решения. Именно, если оба субъекта А и Б смогли договорится о том, чтобы придерживаться выбора x= , z= , то тот субъект, который нарушает договоренность, прежде всего и пострадает: свойство устойчивости решения дает известную гарантию против нарушения договоренности. Все вышеизложенное справедливо и для случая N игроков, где N>2.

Множество Парето.

Множество, включающее в себя все эффективные решения, обозначается P_I(X) или просто P(X) (если ясно, о каком векторном критерии I идет речь) и называется множеством Парето для векторного отображения I: Х E^m, I = (I₁,I₂...,I_m). Очевидно, P(X) X. Образ множества P(X) в пространстве критериев E^m обозначается P(I). Множество P(I) = I(P(X)) называется множеством э ффективных оценок. Множество эффективных оценок часто также называется множеством Парето в пространстве критериев.

Смысл введенного понятия эффективного решения состоит в том, что оптимальное решение следует искать только среди элементов множества P(X) (принцип Парето). В противном случае всегда найдется точка x X, оказывающаяся более предпочтительной с учетом всех частных целевых функций I_i(x). Точка X называется слабо эффективным решением задачи (2), если не существует такой точки X, для которой выполняются строгие неравенства I_i()>I_i(), i = 1,2,...,m. Иначе говоря, решение называется слабо эффективным, если оно не может быть улучшено сразу по всем m критериям “полезности”, задаваемым с помощью функционалов I_i(x), i =1,2,...,m. Множество слабо эффективных решений будет обозначаться через S_I(X). Очевидно, P(X) S(X) (докажите это). Аналогично вводим обозначение: S(I) I(S(X)).

Классификация задач принятия решений

<Т, A, К, X, F, G, D>, где Т— постановка задачи

А — множество допустимых альтернативных вариантов;

К— множество критериев выбора;

Х— множество методов измерения предпочтений

F— отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок (исходы);

G — система предпочтений эксперта;

D — решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Рассмотрим традиционные классификации:

1) По виду отображения F. Отображение множества А и К может иметь детерминированный характер, вероятностный или неопределенный вид, в соответствии с которым задачи принятия решений можно разделить на задачи в условиях риска и задачи в условиях неопределенности.2) Мощность множества К. Множество критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В соответствии с этим задачи принятия решений можно разделить на задачи со скалярным критерием и задачи с векторным критерием 3) Тип системы G. Предпочтения могут формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого задачи принятия решений можно классифицировать на задачи индивидуального принятия решений и задачи коллективного принятия решений.

Задачи принятия решений в условиях определенности.

1. Задача должна быть хорошо формализована, т. е. имеется адекватная математическая модель реального объекта.

2. Существует некоторая единственная целевая функция, позволяющая судить о качестве рассматриваемых альтернативных вариантов.

3. Имеется возможность количественной оценки значений целевой функции.

4. Задача имеет определенные степени свободы, т. е. некоторые параметры функционирования системы, которые можно произвольно изменять в некоторых пределах в целях улучшения значений целевой функции.