Стоячие волны и способ их получения. Уравнение стоячей волны. Узлы и пучности. Спектры собственных частот колебаний в гитарной струне и в стержне, закреплённом посредине

 

Стоячие волны тоже часто рассматривают как интерференционное явление, имеющее, однако, свои особенности.

Представим себе, что имеются две плоские волны,
распространяющиеся вдоль оси Х навстречу друг другу: . Такую ситуацию можно получить, если к крюку, вбитому в стену, привязать веревку, свободный конец которой совершает гармонические колебания , возбуждаемые, например, электромотором. Возникающий при отражении волны от стенки фазовый сдвиг, равный p/2, в данном случае принципиальной роли не играет, и, простоты ради, мы его учитывать не будем. Применяя формулу (4.6а) получим уравнение результирующего колебательного процесса:

. (13.1)

Это уравнение совсем не похоже на уравнение бегущей волны: аргумент у cos не (w t ± kx), а просто w t. Получается, что разные точки веревки будут совершать гармонические колебания с разными амплитудами, зависящими от участка веревки (т.е. от координаты х), однако распространяющейся волны не будет. Такие колебания называются стоячей волной. Из (13.1) видно, что амплитуда стоячей волны всегда в точках , где n = 0, 1, 2,... Такие точки называются узлами стоячей волны. Между ними, т.е. в точках , где n = 0, 1, 2,... амплитуда a(x) может принимать свое максимально возможное значение a(x) = 2 А. Такие точки называются пучностями. Изобразим профиль веревки для некоторых характерных моментов времени (рис. 13.1). Видно, что максимальные амплитуды достигаются в пучностях в моменты времени, кратные Т/2, а в момент времени Т/4 и далее через каждые полпериода смещение всех частиц равно нулю. Внизу на врезке показана картина, которую видит наблюдатель.

Реальная картина стоячих волн зависит от граничных условий среды. Рассмотрим струну длиной L, закрепленную у обоих концов, в которой взаимодействуют встречные бегущие поперечные волны (как это имеет место при возбуждении струны любого музыкального инструмента). Так как струна у концов закреплена, то там колебаний нет, и потому на концах всегда будут узлы. Возможные картины стоячих волн в такой струне показаны на рис. 13.2.

Если просто ущипнуть гитарную струну или провести смычком по скрипичной струне, то в сложном звуке (см. рис. 1.1 или 5.4) будет преобладать основная частота (n = 1). Музыканты знают прием - флажолет - когда струна гитары или скрипки звучит на октаву выше. Это первая гармоника (n = 1) основного тона. Более высокие гармоники заметной амплитуды на музыкальных инструментах возбудить невозможно, однако если струну из немагнитного материала расположить между полюсами магнита, а через струну пропускать переменный ток регулируемой частоты от генератора, то возникающая сила Ампера заставит струну колебаться с частотой генератора, и если эта частота близка к одной из частот спектра , то в струне возникает резонанс, в результате чего на струне отчетливо наблюдается одна из картинок рис. 13.2, соответствующая данной собственной частоте. Для стержня, закреп ленного посредине(13 вопрос), получим картинки, изображенные на рис. 13.3. Посредине, где стержень закреплен, смещения нет, и там, естественно, всегда будет узел. На свободных же концах будут пучности. Поступая, как и в предыдущем случае, получим, что на стержне всякий раз укладывается нечетное число полуволн. Получим . Заметим, что в стержне могут возбуждаться не только поперечные (как в струне), но и продольные волны. Тогда картинки рисунка 13.3 следует воспринимать не как наблюдаемые профили, а как графики отклонений в продольном направлении в данном сечении. Ведь в этом случае колебания будут происходить вдоль стержня, который сам изгибаться не будет.

Стоячие волны можно возбудить в органной трубе, закрытой у одного конца (рис. 13.4), где всегда будет узел. У открытого конца будет пучность. В отличие от стержня, здесь могут иметь место только продольные волны. Видно из рисунка, что на длине трубы L укладывается нечетное число четвертей длин волн, откуда .

Рис. 13.4 также описывает стоячую волну (поперечную или продольную) в стержне, закрепленном у одного конца. Такие картинки можно визуально наблюдать на длинной телескопической автомобильной антенне при движении автомобиля.