Гідравлічні втрати тиску в трубах при ламінарному русі в’язкопластичної рідини

 

Градієнт швидкості руху рідини в трубах можна записати таким чином:

. (2.30)

Знак "мінус" береться тому, що зі збільшенням " " швидкість " " зменшується, тобто величина від’ємна, а напруження " " величина додатна.

Слід вважати, що має місце прилипання рідини до стінки (відсутнє ковзання), а тому швидкість біля стінки . Тоді вираз (2.30) можна записати:

. (2.31)

Із закону розподілу напружень:

. (2.32)

 

Тоді:

. (2.33)

Підставивши (2.33) у (2.31) одержимо:

. (2.34)

Значить:

. (2.35)

Вирази (2.34) і (2.35) є загальними. Їх інтегрування дозволяє встановити закон розподілу швидкостей при будь – якому значенні функції .

 

Розв’яжемо цю задачу для руху в трубах ньютонівської рідини, для якої: ; .

. (2.36)

. (2.37)

З виразу (2.32) (2.38)

. (2.39)

 

Підставивши (2.38) і (2.39) у рівняння (2.37) одержимо:

 

 

Рівняння (2.40)

виражає закон розподілу швидкостей у поперечному перерізі круглої труби при ламінарному режимі, відомий під назвою закону Стокса.

Задаючись різними значеннями координати " ", за цим рівнянням можна знайти швидкість у будь – якій точці перерізу. Максимальна швидкість буде при =0, тобто на осі труби.

. (2.41)

Середня швидкість потоку при цьому дорівнює половині осьової швидкості.

При русі в’язкопластичної рідини закон розподілу швидкостей у поперечному перерізі круглої труби при ламінарному режимі буде такий:

;

, (2.42)

Підставивши (2.42) у (2.35) одержимо:

.

.

, , .

 

 

 

(2.43)

Це формула для розподілу швидкостей при структурному режимі в’язко – пластичної рідини. Для визначення швидкості руху нейтрального ядра у формулу (2.43) необхідно підставити замість :

 

(2.44)

При одержуємо формулу Стокса.

Знаючи закон розподілу швидкостей у поперечному перерізі можна вивести теоретичні формули для визначення витрати рідини і втрат тиску на тертя по довжині потоку при ламінарному режимі.

Для цього в трубі виділимо елементарний переріз у вигляді кільця внутрішнім радіусом " " і товщиною " ", (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Переріз труби

 

Площа перерізу . Оскільки товщина кільця безмежно мала, приймемо, що у всіх його точках швидкість частинок рідини однакова і може бути визначена рівнянням Стокса:

.

Елементарна витрата рідини, яка проходить через кільцевий переріз:

. (2.45)

Повна витрата рідини через весь поперечний переріз визначається як сума елементарних витрат, або те ж саме, як інтеграл, взятий по цілому перерізу, тобто в межах від до .

Таким чином:

. (2.46)

.

Інтегруючи даний вираз по частинах, знаходимо:

. (2.47)

Перший член у правій частині рівняння дорівнює нулю, оскільки при (біля стінок) , а на осі труби .

Таким чином:

. (2.48)

Введемо в дане рівняння нову змінну " ".

З рівняння (2.32) маємо:

. (2.49)

Підставивши (2.33) в (2.30) одержимо:

. (2.50)

Підставивши у вираз (2.48) замість та їх значення з (2.49) та (2.50) одержимо:

. (2.51)

Для рідин, реологічні рівняння яких допускають явний аналітичний вигляд ,визначення гідравлічних втрат тиску в трубах зводиться в загальному випадку до розв’язування рівняння:

, (2.52)

де - витрата рідини;

- дотичне напруження зсуву на стінці труби.

, (2.53)

де - довжина труби.

Інтегрування даного рівняння дає можливість одержати необхідні для виконання практичних розрахунків співвідношення між витратою та перепадом тиску при будь-якому вигляді функції .

Для в’язкопластичної рідини (якими є промивальні рідини) формула для визначення витрати при ламінарному режимі руху може бути одержана, якщо у рівняння витрати (2.52) підставити замість функції її значення:

;

; ;

.

Проінтегруємо дане рівняння

 

 

Підставивши замість його значення з формули (2.53) одержимо:

, (2.54)

або через діаметр труби :

. (2.55)

Цю формулу вперше одержав Е. Букінгем у 1921 році.

Даний вираз в явному вигляді не розв’язується відносно .

 

Формулу (2.55) можна привести до вигляду:

,

,

.

Поділимо обидві частини на :

,

.

Позначивши ; , одержимо:

,

. (2.56)

Побудовані графічні залежності для труб і кільцевого простору, (рисунок 2.7)

 

Рисунок 2.7 – Залежність безрозмірного коефіцієнта β від параметра Сен-Венана: 1 – для труб; 2 – для кільцевого перерізу

 

Із залежності одержимо:

. (2.57)

За даною формулою знаходять перепад тиску при ламінарному режимі руху в’язкопластичної рідини в трубах. Для визначення втрат тиску спочатку визначають параметр Сен–Венана, за значенням якого за графіком (рисунок 2.7) шукають величину " β " яку підставляють у формулу (2.57).

Підставивши у (2.52) замість функції реологічну модель Ньютона одержимо формулу:

. (2.58)

(2.59)

Формули (2.58) і (2.59) одержав Ж. Пуазейль у 1840 році.

Підставивши у рівняння (2.52) замість функції реологічну модель аномально в’язкої рідини Оствальда одержимо таке значення витрати і тиску при ламінарному русі рідини:

. (2.60)

. (2.61)

Формули (2.60) і (2.61) одержав В. Рабинович у 1929 році і М. Муні у 1931 році.

Якщо у формулу (2.52) замість функції підставити реологічну модель нелінійної в`язкопластичної рідини Гершеля – Балклі , то одержимо таке значення витрати при ламінарному русі рідин:

(2.62)