Наращение денежных средств по простым и сложным про- центам

2. Дисконтирование денежных средств по сложным процент- ным и учетным ставкам

3. Расчет аннуитетных платежей

 

 

1. Процентный доход или проценты – это абсолютный доход от предоставления долга.

Процентная ставка измеряет уровень доходности отнесением аб- солютного эффекта (полученного дохода в виде суммы процентных денег, начисленных за весь срок) к исходной сумме долгового обязательства.

 

 

 

тала.

где - будущая стоимость капитала, - текущая стоимость капи-

 

 

Простые проценты начисляются по ставке i на одну и ту же посто-

янную базу - исходную сумму долга PV, что за счет многократного при- бавления постоянной величины процентного дохода за один период при- водит к росту будущей стоимости FV за полный срок n периодов по закону арифметической прогрессии.

 

 

Множитель наращения по правилу простых процентов показывает будущую стоимость одной денежной единицы, вложенной сроком на n пе- риодов при начислении в конце каждого из них процентного дохода по ставке i без капитализации (т.е. без учета или без накопления) начислен- ных ранее процентов.

Сложные проценты характеризуются тем, что база начисления рас- тет в результате регулярного присоединения к ней (капитализации) про-

центных денег, причитающихся кредитору за предыдущие расчетные пе-

риоды. Наращенная сумма растет в геометрической прогрессии.

 

 

Множитель наращения сложных процентов является основным финансовым коэффициентом и показывает будущую стоимость 1 денеж- ной единицы, вложенной на n периодов под сложные проценты, начисляе- мые по ставке i.

Начисление процентов при использовании переменной процентной ставки

Основная формула сложных процентов предполагает постоянную

процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Од- нако нестабильность экономической ситуации вынуждает кредиторов ис-

 

 

пользовать в финансовых соглашениях изменяющиеся во времени (пла- вающие) процентные ставки. В этом случае наращенная сумма определят- ся по формуле:

 

	,	,	- последовательные во времени значения процентных ста-
вок,	,	,	- длительность периодов, в течение которых используются

соответствующие ставки.

Начисление процентов при дробном числе лет

Часто срок для начисления процентов не является целым числом. В

правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций в этих слу- чаях проценты начисляются только за целое число лет. В большинстве случаев учитывается полный срок.

При начислении процентов при дробном числе лет ссуды использу- ется два основных метода расчета:

1) начисление по схеме сложных процентов. В этом случае в течение всего срока ссуды начисляются сложные проценты:

 

 

где – целое число лет, – дробная часть года;

2) смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов, а за дробную часть периода – по формуле простых процентов:

 

 

При выборе метода начисления следует иметь в виду, что множитель наращения, а следовательно и наращенная сумма, по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему методу.

Эффективная годовая процентная ставка – процентный доход, получаемый инвестором за один год в результате вложения одной денеж-

ной единицы по номинальной годовой ставке сложных процентов i при частоте начисления m раз в год.

 

где – эффективная годовая процентная ставка.

Реальная процентная ставка – это процентная ставка, очищенная от инфляции.

 

 

2. Дисконтирование – это приведение всех денежных потоков (по- токов платежей) к единому моменту времени.

Приведение к моменту времени в прошлом называют дисконтирова-

нием.

 

 

Приведение к моменту в будущем называют наращением (компаун-

дированием).

Исследуя целесообразность финансовых вложений, инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально воз-

 

можную сумму допустимо вложить в данное дело, исходя из прогнозируе- мой его рентабельности. Эта задача решается на основе применения мето- да дисконтирования.

Данные вычисления имеют большое прикладное значение в проект- ном анализе для приведения денежных сумм, оцененных по состоянию на

различные даты, к одному требуемому моменту времени (например, со- временному).

Математическое дисконтирование по ставке сложных процентов осуществляется следующим образом:

 

 

Величину называют дисконтным множителем. Его значения

 

можно определить по таблицам сложных процентов в зависимости от ставки дисконтирования и периода дисконтирования. Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем: он показывает цену одной денежной единицы будущего на настоящий момент времени.

Величину PV, полученную в процессе дисконтирования, называют современной стоимостью суммы FV. Разность FV-PV называют дискон-

том.

При начислении процентов несколько раз в год формула дисконти- рования имеет вид:

 

 

Таким образом, при сроке финансовой операции менее одного года дисконтирование по сложной процентной ставке даст большую величину приведенной стоимости, чем дисконтирование по простой ставке, а при сроке более одного года – наоборот. Если срок операции равен одному го- ду, то дисконтирование по обоим видам ставок приведет к одинаковым ре- зультатам.

В случае предварительного начисления сложных процентов, т.е. ко- гда сложный процент (например, за кредит или за продажу какого-либо финансового документа до срока его погашения) начисляется в момент за- ключения финансового соглашения, применяется сложная учетная ставка.

При этом процесс дисконтирования происходит с замедлением, т.к. каж- дый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме (как при простой учетной ставке), а к сумме уже дисконтированной на предыдущем

шаге во времени.

Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:

 

 

где - дисконтный множитель.

 

 

39

Если дисконтирование по учетной ставке производится не один, а несколько раз в году, то используются понятия номинальной и эффектив- ной учетной ставок.

Эффективная учетная ставка определяется по формуле:

 

где d – номинальная учетная ставка.

 

 

3. Поток платежей - ряд последовательных выплат и поступлений. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются нара-

щенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик яв- ляется числом.

Финансовая рента или аннуитет - поток платежей, все члены ко- торого положительные величины, а временные интервалы постоянны.

Член ренты или аннуитетный платеж (А) - величина каждого от- дельного платежа.

Период ренты - временной интервал между двумя соседними пла- тежами.

Срок ренты (n) – время, от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода.

Процентная ставка (i) - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей,

Наращенная сумма аннуитета (FVA - сумма всех членов последо-

вательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Современная величина аннуитета (PVA) - сумма всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпа- дающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Аннуитет различают по моменту выплаты платежей. Если платежи

осуществляются в конце каждого периода, то такой аннуитет называют обычным или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то аннуитет называют пренумерандо. Иногда преду- сматриваются платежи в середине каждого периода.

Для аннуитета постнумерандо:

1) будущая стоимость ренты рассчитывается:

а) если аннутетный платеж постоянен (А – const):

 

б) если величина каждого отдельного платежа различна:

 

где – номер периода ренты.

2) текущая стоимость аннуитета рассчитывается:

а) если аннутетный платеж постоянен (А – const):

 

б) если величина каждого отдельного платежа различна: