Приклад виконання завдання К4

Прямокутний трикутник АВС обертається навколо свого катета АС рівносповільнено з кутовим прискоренням , при початковій кутовій швидкості ω₀=12 с^-1. По гіпотенузі АВ рухається точка М за законом АМ=S=20-5cos(πt/16) (S - в сантиметрах, t - в секундах). Знайти абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки М в момент часу t₁=4 с (рис. К.5).

		Рис К.6

 

Дано:

ω₀=12 с^-1

ε=2с^-2

S=20-5(cosπt/16)см

t₁=4с

V_a -? а_a -?

 

Розв’язання

 

Оскільки точка М одночасно перебуває в двох рухах, то її рух розглядаємо як складний. Виберемо нерухому Oxyz і рухому O₁x₁y₁z₁ системи координат (рис. К.5). Рухома система зв’язана з трикутником що обертається (на рис. К.5 показана тільки вісь O₁x₁). Тоді переносним рухом буде обертання трикутника навколо катета АС, а відносним – прямолінійний рух точки вздовж катета АВ за законом S=S(t). Абсолютна швидкість точки М визначиться за формулою .

Переносну швидкість точки М визначимо як швидкість тієї точки гіпотенузи АВ трикутника, що обертається, з якою в даний момент часу співпадає рухома точка М. Визначимо положення точки М на гіпотенузі АВ при t = 4 с.

 

.

 

Переносна швидкість V_e=ω_eh, де ω_e - кутова швидкість обертання трикутника АВС при t= 4 с; h - найкоротша віддаль від точки М до осі обертання АС. При t = 4 с h=AMsin30⁰=8,23 см.

Оскільки обертання трикутника рівносповільнене, то ω_e визначимо за залежністю ω_e=ω₀-ε_et і при t = 4 с ω_e=4 c^-1. Тоді V_e=4×8,23=32,92 см/с.

Оскільки траєкторією переносного руху точки М в даний момент часу є коло радіуса h, то вектор буде напрямлений по дотичній до цього кола в сторону обертання. Якщо площину трикутника АВС при t = 4 с сумістити з площиною OYZ, то вектор . Відносна швидкість точки М визначиться методами кінематики точки і буде дорівнювати і при t = 4 с; V_r = 0,69 см/с.

Вектор напрямлений по гіпотенузі АВ в сторону збільшення S. Оскільки кут між векторами і дорівнює π/2, то модуль абсолютної швидкості буде дорівнювати

 

.

 

При непоступальному переносному русі абсолютне прискорення точки М в складному русі буде дорівнювати .

Оскільки переносний рух є обертальним, то переносне прискорення точки М визначиться за формулою: ,

де ; при t = 4 с ,

.

Вектор напрямлений до осі обертання трикутника вздовж радіуса h, а вектор - перпендикулярно до в сторону дугової стрілки кутового прискорення ε_e, яке протилежне ω_e так як обертання сповільнене.

При прямолінійному відносному русі, відносне прискорення точки М має тільки дотичну складову, яка дорівнює

 

. При t = 4 с, a_r = = 0,14 см/с².

 

Вектори і мають при t = 4 с однакові знаки і тому співпадають за напрямком.

Модуль коріолісового прискорення визначиться за залежністю

.

Згідно з прийнятим напрямком обертання вектор буде напрямлений по осі обертання в сторону додатнього напрямку осі oz. Тому кут між і дорівнює 30⁰ і при t = 4 с коріолісове прискорення буде дорівнювати

 

.

Напрям вектора , згідно з правилом Жуковського, співпадає з напрямом вектора .

Для знаходження модуля абсолютного прискорення точки М скористаємося методом проекцій. Для цього введемо допоміжну систему координат Mx₂y₂z₂, осі якої напрямлені відповідно по дотичній до переносної траєкторії, по радіусу h і паралельно до осі обертання (рис. К.6). Отже,

 

;

 

;

 

.

 

Модуль абсолютного прискорення точки М

 

.

 

Відповідь: V _а =32,9 см/с; а_а =132,3 см/с².

 

Розділ II. СТАТИКА

Завдання С. Статика

Завдання С1. ПЛОСКА СИСТЕМА СИЛ. Визначення реакцій в’язей.

Визначити реакції в’язей для трьох випадків закріплення бруса, віссю якого є ламана лінія. Задане навантаження (див. табл.5’) і розміри (м) в усіх трьох випадках однакові.

Схеми конструкцій показані на рис. 4, а необхідні данні наведенні в таблиці 5.

 

Необхідно знати:

1. Рівняння рівноваги плоскої системи сил.

2. Момент сили відносно точки.

3. Момент сил пари відносно точки дорівнює моменту самій пари.

Необхідно вміти:

1.Визначати момент сили відносно точки.

2.Визначати момент пари сил.

 

Приклад виконання завдання С1

На брус з ломаною віссю АВ (рис. 2.1) діють пари сил, момент якої дорівнює М, рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q, а в точці D прикладена зосереджена сила . Визначити реакції опор, якщо М =8 кН ^. м; q =1,2 кН/м; Р= 5 кН. Розміри та кут показані на рис. С.1.

 

Дано:
М= 8 кН ^.м q= 1,2 кН/м Р= 5 кН	С.1
NА-? RВ-? MА-?

 

Розв’язання

Задачу розв’язуємо у слідуючій послідовності:

1. За умовою задачі виділяємо тіло, рівновага якого розглядається і показуємо його окремо. Згідно з умовою задачі тілом, рівновага якого розглядається, є брус з ломаною віссю АВ (рис. С.2).

2. Покажемо на рис. С.2 діючи на цей брус задані активні сили і реакції відкинутих в’язей.

Активними силами є зосереджена сила , пара сил з моментом М і розподілене навантаження інтенсивності q.

Дію рівномірного розподіленого навантаження інтенсивності q заміняємо дією рівнодійної сили

кН.

В’язями, накладеними на брус АВ, є опори у вигляді циліндричного шарніра А, дію якого замінемо реакцією і реактивним моментом М_А, і рухомого шарніра, дію якого замінимо реакцією

Система заданих активних сил , , пара сил з моментом М і невідомі реакції в’язей , і реактивний момент , складають зрівноважену довільну плоску систему сил, показану на рис. С.2.

Рис. С.2

 

3. На брус АВ діє плоска довільна система сил, рівняння рівноваги якої

 

1. ;

2. ;

3. ;

З цієї системи рівнянь дістанемо

 

з рівняння 1 ;

з рівняння 2 ;

з рівняння 3 .

 

Відповідь: кН; кН; кН ^. м.

Завдання С2. ПРОСТОРОВА СИСТЕМА СИЛ. Визначення реакцій в’язей і умов рівноваги невільного твердого тіла.

Знайти реакції в’язей (опор) заданої просторової конструкції і умову її рівноваги.

Схеми конструкцій показані на рис 5, а необхідні дані наведені в таблиці 5.

 

Необхідно знати:

1. Рівняння рівноваги довільної просторової системи сил.

2. Обчислювати момент сили відносно осі

Необхідно вміти:

1. Дію в’язей заміняти дією їх реакцій.

2. Проецюювати вектор сили на координатні осі.

3. Визначати моменти сили відносно осей координат.