Семерикова Н.П., Лапинова С.А.,

 

 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Электронное учебно-методическое пособие

 

Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса

 

Нижний Новгород

 

 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Семерикова Н.П., Лапинова С.А. Электронное учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 57 с.

 

 

В учебно-методическом пособии рассматриваются задачи по одной из важнейших тем математического анализа – двойным и тройным интегралам. В пособии разбираются такие темы, как расстановка пределов интеграции в двойных интегралах, переход в двойном интеграле к полярным и произвольным криволинейным координатам. Рассмотрены задачи, связанные с вычислением тройных интегралов в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Разобраны задачи на геометрические и механические приложения кратных интегралов – вычисления площадей и объемов тел, вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов и моментов инерции тел. По каждой из тем пособие содержит задачи для самостоятельного решения

Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 011800.62 «Радиофизика», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды», по направлению 010300.62 «Фундаментальная информтика и информационные технологии», изучающих курс «Кратные интегралы и ряды» и по направлению 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», изучающих курс «Математический анализ».

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ГЛАВА 1. Двойные интегралы. ………….…………….………….…………….4

1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения………….……………..………….…………….……………..4

1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах…………………….…………….………….…………………6

1.3. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)…………… ………….………………….………….……………..15

1.4. Переход к полярным координатам в двойном интеграле……………………….……….………….…………….………..19

1.5. Геометрические приложения двойного интеграла…………………….……….…………….…………….……......24

1.6. Физические приложения двойного интеграла……….……………..27

1.7. Задачи для самостоятельного решения……………………………..29

 

ГЛАВА 2. Тройные интегралы………………………………………………….33

2.1. Тройной интеграл в декартовых координатах……………………...33

2.2. Замена переменных в тройном интеграле…………………………..37

2.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.39

2.4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах……42

2.5. Приложения тройного интеграла……………………………………47

2.6. Задачи для самостоятельного решения……………………………..49

Ответы……………………………………………………………………………52

Список литературы………………………………………………………………54

Глава 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

 

1.1. Двойной интеграл – основные понятия и определения.

Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

 

Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f (x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:

 

 

.

Определение двойного интеграла:

Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds = dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде .

В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z=f (x,y)>0, снизу –замкнутой областью D плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью с образующей - параллельной оси Oz, а направляющей служит граница области D (рис. 2). Такое тело называется цилиндрическим. Составим для функции интегральную сумму , при этом каждое слагаемое в интегральной сумме определяет объем элементарного параллелепипеда с основанием и высотой , т.е. . Тогда объем цилиндрического тела . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей . Если число площадок неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку, то за объем цилиндрического тела принимаем величину

.

Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D

.

 

Физический смысл двойного интеграла:

Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ (x, y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i= 1 ,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке мало

отличается от значений и масса площадки . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D .

 

Простейшие свойства двойного интеграла.

Эти свойства используются для вычисления двойного интеграла и аналогичны свойствам определенного интеграла. Пусть и и с – const. Тогда:

 

1. .

2.

3. Если область D разбить линией на две области и , такие, что ,а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то .

 

1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

 

Определение 1: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (I) (простой относительно оси Ox), если она ограничена снизу линией , сверху - (где непрерывные функции) и с боков – отрезками прямых x = a, x = b (рис.3). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.4). Область вида (I) задается неравенствами .

Всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [ a, b ] пересекает границу простой области (I) в двух точках (см. рис.3, 4).

В случае простой области (I) (, где - непрерывные функции на [ a, b ]), двойной интеграл вычисляется по формуле:

(1) Здесь сначала вычисляется внутренний интеграл по y. Он берется при каждом фиксированном значении от нижней границы области D до верхнейграницы (по координатной линии x = const (рис.3,4)). В результате получается некоторая функция от x , которая затем интегрируется по отрезку [ a, b ], т.е. .

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, которые называются повторными.

Для применения формулы (1) область D необходимо спроектировать на ось Ох и получить отрезок [ a, b ] (рис.3,4), границы x = a и x = b которого являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии x = const, пересекающие область D и определяем нижнюю и верхнюю границы области. Интегрирование по координатной линии x = const всегда ведется в направлении оси Оу.

 

Определение 2: Область D на плоскости Oxy назовем простой областью вида (II) (относительно оси Oy), если она ограничена слева линией , справа - (где непрерывные функции), а сверху и снизу – отрезками прямых y = c, y = d (рис.5). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку (рис.6). Область вида (II) задается неравенствами .

Всякая прямая, параллельная оси Ox и проходящая внутри отрезка[ c,d ], пересекает границу простой области (II) в двух точках (см. рис.5,6). В случае простой области (II) (, где -

непрерывные функции на [ c, d ]), двойной интеграл вычисляется по формуле:

 

(2)

Здесь интегрирование во внутреннем интеграле ведется по х при фиксированном значении от левой границы области до правой границы (т.е. по координатной линии y=const (рис.5,6)).

Для применения формулы (2) область D проектируем на ось Оy и получаем отрезок [ c, d ] (рис.5,6), границы которого y = c и y = d являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем проводим координатные линии y = const, пересекающие область D и определяем левую и правую границы области. Интегрирование по координатной линии y = const всегда ведется в направлении оси Ох.

 

Важно помнить, что во внешнем интеграле в формулах (1) и (2) пределами интегрирования всегда являются числа.

 

Наиболее простой вид формулы (1) и (2) принимают в случае прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = a, x = b, y = c, y = d. Прямоугольник является одновременно простой областью вида (I) и (II) и для вычисления двойного интеграла можно применять любую из формул (1) и (2):

(3)

Замечания:

1. Если область D является простой областью вида (I) и (II), то для вычисления двойного интеграла можно применять и формулу (1), и формулу (2):

2. Если область D не является простой областью вида (I) или (II), то при помощи прямых, параллельных координатным осям ее разбивают на конечное число простых областей и для вычисления двойного интеграла используется третье свойство двойного интеграла.

3. Аналогичные определения и формулы справедливы и тогда, когда замкнутая область D лежит либо в плоскости xOz, либо в плоскости yOz. Например, если ограниченная замкнутая область D лежит в плоскости xOz и является простой относительно оси Oz, а в ней задана непрерывная функция y = f (x, z), то

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (3):

Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая переменную x константой:

.

После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х I (x)=2 x +4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:

 

Пример 2. Вычислить интеграл , где .

Решение: Как и в примере 1, двойной интеграл сводится к повторному по формуле (3):

При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла (см. п.1.1), выносим за знак интеграла:

В данном примере удобнее воспользоваться еще одним свойством двойного интеграла. Если подынтегральная функция f (x, y)= X (x) Y (y) является произведением двух функций, одна из которых зависит только от x, а вторая - от y, и область интегрирования является прямоугольной , то двойной интеграл равен произведению повторных интегралов, т.е. . В этом случае результат вычисления внутреннего интеграла есть число. Поэтому решение задачи 2 кратко можно записать так:

 

Пример 3. Вычислить интеграл , где область D ограничена линиями x =0, y =0, x = π, y =1+cos x.

Решение: Область D является простой областью типа (I), так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рис.7). При любом фиксированном значении х из отрезка [0,π] координата y меняется от y =0 до y =1+cos x. Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (1):

 

Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2), т.к. область D также является простой областью вида (II). Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х = х (у), что приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 4. Вычислить интеграл , если область D ограничена кривой x =2+sin y и прямыми x =0, y =0, у=2π.

Решение: Область D является простой областью относительно оси Оу, т.е. областью вида (II). Левая ее граница x =0, а правая - x =2+sin y (рис.8). При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x =0 до x =2+sin y. Поэтому по формуле (2) имеем:

 

 

Пример 5. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O (0,0), A (1,0), B (1,1).

Решение: Область D изображена на рис.9. Она является простой областью вида (I) и (II), поэтому для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле воспользуемся формулами (1) и (2).

Для применения формулы (1) область D проектируем на ось Oх и получим отрезок [0,1] – это пределы интегрирования во внешнем интеграле. Далее для расстановки пределов интегрирования во внутреннем интеграле при любом фиксированном проводим координатные линии y = cоns t и по ним определяем, что нижняя граница области D y =0, а верхняя граница – прямая y = x. Таким образом получим:

.

Для применения формулы (2) область интегрирования D проектируем на ось y и получаем отрезок [0,1],а затем проводим координатные линии x = cоnst и определяем, что левая граница x =0, а правая граница - прямая x = y. Тогда двойной интеграл преобразуется к виду:

.

Пример 6. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x =0, x =1, y =1 и кривой

Решение: Построим область D, но вначале нужно понять, как нарисовать кривую . Приведем ее уравнение к каноническому виду. Для этого возведем обе части этого уравнения в квадрат, помня, что и , т.е. . Получаем: . Теперь все слагаемые перенесем в левую часть и выделим полный квадрат по переменной х: или . Таким образом, заданная кривая – это нижняя дуга () окружности радиуса 1 с центром в точке (1,0). Область изображена на рис.10.

Область D является простой областью относительно оси Oх, она находится в полосе между прямыми x =0 и x =1. Ее нижней границей является дуга окружности , а верхней – прямая y =1. Следовательно, .

Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке проектируем область D на ось Oу и получаем отрезок [-1,1]. Из рис.10 видно, что область D ограничена слева дугой окружности (при ) и отрезком прямой x =0 (при ). Поэтому ее разбиваем на две простые области и координатной линией y =0. Левая граница области находитсяиз уравнения окружности : . Тогда область определяется неравенствами: , . Область есть прямоугольник , . Применяя формулу (2) и третье свойство двойного интеграла (см. п.1.1), получаем:

Пример 7. В двойном интеграле расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D ограничена прямыми x + у =10, x - у =4, y =0 и параболой .

Решение: Область D представлена на рис.11, из которого видно, что она не является простой ни в одном из направлений, поэтому ее необходимо разбить на простые области.

Проектируем D на ось Oх и получаем отрезок [0,7]. При этом нижней границей области D являются прямые y =0 при и у = х -4 при , которые пересекаются в точке (4,0). Верхняя граница так же состоит из двух частей - кубической параболы при и прямой у =10- х при , которые пересекаются в точке (2,8). Через точки пересечения границ проводим координатные линии х =2 и х =4, которые разбивают D на три простые области , , . В при нижняя граница y =0, а верхняя . В при нижняя граница y =0, а верхняя – прямая у =10- х. В при нижняя граница у = х -4, а верхняя - у =10- х. Расставляя пределы интегрирования для каждой из простых областей, получаем:

Для второго способа расстановки пределов интегрирования проектируем область D на ось Oу и разбиваем ее на две области. В первой области при левая граница описывается выражением , а правая - х = у +4. Во второй области при левая граница по-прежнему остается параболой , а правой границей является прямая х =10- у. В итоге получаем:

В качестве упражнения на расстановку пределов интегрирования рассмотрим задачу о перемене порядка интегрирования в повторном интеграле . Для ее решения необходимо построить область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми x = a, x = b и ограничена снизу линией , а сверху- линией . Затем область D проектируем на ось Oу и находим уравнения прямых y = c, y = d, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находят левую и правую границы области. Если какая-либо граница состоит из двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбиваем на части (простые области типа (II)). Аналогично поступают, если требуется переменить порядок интегрирования в повторном интеграле , только в этом случае область D проектируют на ось Oх.

 

Пример 8. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Решение: Область D расположена между прямыми x =0 и x =1. Ее нижняя граница - прямая у = х, а верхняя - дуга окружности (рис.12). Проектируем область D на ось Оу, в результате получаем отрезок . Левой границей области является прямая х =0, правой - на участке [0,1] прямая х = у, а на участке - дуга окружности

. Поэтому область D разбиваем на две области и , а интеграл – на сумму двух интегралов:

Пример 9. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение: Для каждого из повторных интегралов построим свою область. Область находится в полосе между прямыми y =-2 и y =0. Ее левой границей является прямая х =-1, а правой – прямая х = у +1. Область находится в полосе между прямыми y =0 и y =π и имеет левую границу х =-1 и правую границу х =cos y. Сумма этих двух областей и есть искомая область D, она изображена на рис.13. Спроектируем ее на ось Ох, получим отрезок [-1,1]. Относительно оси Ох область D является простой, ее нижней границей является прямая у = х -1, а верхней – у =arccos х.

Рис. 13

 

Повторный интеграл принимает вид: