Многоканальная смо с ожиданием

 

Рассмотрим n-канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью l; интенсивность обслуживания (для одного канала) μ; число мест в очереди m.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S₀ – все каналы свободны,

S₁ – занят один канал, остальные свободны,

.......

S_k – заняты k каналов, остальные свободны,

.......

S_n – заняты все n каналов,

S_n+1 – заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди,

.......

S_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди,

.......

S_n+m – заняты все n каналов, т заявок стоят в очереди,

 

Граф состояний приведен на рис. 6. У каждой стрелки простав­лены соответствующие интенсивности потоков событий. Действитель­но, по стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью l; по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна μ, ум­ноженному на число занятых каналов.

Рис. 6

Граф на рис. 5.6 представляет собой схему «гибели и размножения», для которой решение в общем виде уже получено. Напишем выраже­ния для предельных вероятностей состояний, сразу же обозначая ρ = λ/μ:

или, суммируя геометрическую прогрессию со знаменателем ρ/n (подчеркнутые члены):

(6.1)

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Найдем некоторые характеристики эффективности обслуживания. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n каналов и все m мест в очереди:

P_отк = (6.2)

Относительная, пропускная способность, как всегда, дополняет вероятность отказа до единицы:

q = 1– P_отк = .

Абсолютная пропускная способность СМО будет равна:

A = λ q= λ (6.3)

Найдем среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со сред­ним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина от­личается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди. Сохраним обозначение для среднего числа заявок, связанных с си­стемой, а среднее число занятых каналов обозначим . Каждый заня­тый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени; вся же СМО обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Деля одно на другое, получим:

или

(6.4)

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредствен­но, как математическое ожидание дискретной случайной величины, умножая любое возможное число заявок на вероятность того, что имен­но это число заявок будет в очереди, и складывая результаты:

. (6.5)

Введем обозначение ρ/ n = χ и перепишем (6.5) в виде:

(6.6)

Заметим, что выражение в скобках есть не что иное, как уже вы­численная нами в предыдущем параграфе сумма (5.10), где вместо ρ поставлено χ. Пользуясь этой формулой и подставляя результат в (6.6), получим:

. (6.7)

Складывая среднее число заявок в очереди и среднее число заня­тых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

= + . (6.8)

Теперь найдем среднее время ожидания заявки в очереди: _ож. Сде­лаем ряд гипотез о том, в каком состоянии застанет систему вновь при­шедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не при­дется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании от­бросим, как равные нулю). Если заявка придет в момент, когда заня­ты все n каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное 1/ n μ (потому что поток освобождений n каналов имеет интен­сивность n μ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заяв­ку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать время 2/ n μ (по 1/ n μ на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди r заявок, ей придется ждать в среднем время r / n μ. Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслуживаться). Среднее время ожида­ния найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующую вероятность:

_ож =

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, заме­чаем, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (6.5) только множителем 1/ρμ, = 1/l,, т. е.

_ож = . (6.9)

Подставляя сюда выражение для , найдем:

_ож = . (6.10)

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную про­пускную способность:

_сист = M[ T_сист ] = M[ T_ож ] + M[Θ] = _ож + q /μ (6.11)

 

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n = 2) предназначена для обслуживания машин. Поток машин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность l = 2 (машины в минуту); среднее время обслуживания одной машины.

_об =1/μ = 2 (мин).

Площадка у АЗС может вместить очередь не более m = 3 (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (по­лучает отказ). Найти характеристики СМО:

- вероятность отказа,

- относительную и абсолютную пропускную способности,

- среднее число занятых колонок,

- среднее число машин в очереди,

- среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС.

Решение. Имеем: n = 2, m = 3, l = 2, μ = 1/ _об = 0,5, ρ = 4, χ = ρ/n = 2.

По формулам (6.1) находим:

.

Вероятность отказа:

P_отк =

Относительная пропускная способность: q =1 – P_отк = 0,488

Абсолютная пропускная способность: А = q l = 0,976 (машины в минуту).

Среднее число занятых каналов (колонок):

= А /μ = 0,976/0,5=1,952

(т. е. обе колонки почти все время заняты).

Среднее число машин в очереди находим по формуле (6.7):

Среднее время ожидания в очереди – по формуле (6.9):

_ож = = 2,18/2 = 1,09 (мин).

Среднее время пребывания машины на АЗС (включая время обслуживания):

_сист = _ож + q _об = 1,09 + 0,976 = 2,07 (мин)

 

Выше мы рассмотрели n -канальную СМО с ожиданием, когда в оче­реди одновременно могут находиться не более n заявок.

Так же, как и в предыдущем параграфе, посмотрим, что будет, если длина очереди не ограничена каким-то числом т, а может быть сколь угодно большой. Граф состояний в этом случае – бесконеч­ный (см. рис.7).

Рис. 7

Вероятности состояний получим из формул (6.1) предельным пе­реходом (при m →∞). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при χ = ρ/ n < 1 и расходится при χ ≥ 1; соответственно, установившийся режим будет существовать при χ<1, а при χ>1 очередь будет бесконечно возрастать. До­пустим, что χ<1 и устремим в формулах (6.1) величину m к беско­нечности. Получим выражения для предельных вероятностей состоя­ний:

(6.12)

Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то ха­рактеристики пропускной способности СМО равны:

P_отк = 0, q = 1, A = λ q =λ.

Среднее число заявок в очереди получим при m →∞ из (6.7):

, (6.13)

а среднее время ожидания – из (6.10):

_ож = . (6.14)

Среднее число занятых каналов найдется по-прежнему через аб­солютную пропускную способность:

= , (6.15)

а среднее число заявок, связанных с СМО – как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслужива­нием (среднее число занятых каналов):

= + (6.16)

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслужи­вает поток машин с интенсивностью λ = 0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины

_об =1/μ = 2 (мин).

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Решение. Имеем: n = 2, l = 0,8, μ = 1/ _об = 0,5, ρ = 1,6, χ = ρ/n = 0,8.

Поскольку χ < 1, очередь не растет безгранично и имеет смысл гово­рить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (6.11) находим вероятности состояний:

,

p₁ = 1,6 p₀ 0,178, p₂ =1,28 p₀ 0,142

p₃ = , p₄ = и т.д.

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А =λ=0,8 на интенсивность обслуживания μ= 0,5:

= 0,8/0,5=1,6.

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

p₀ + p₁ + p₂ 0,431

Среднее число машин в очереди:

Среднее число машин на АЗС:

= + = 0,71 + 1,6 = 2,31

Среднее время ожидания в очереди:

_ож = = 0,89 (мин).

Среднее время пребывания машины на АЗС:

_сист = _ож + _об 0,89 + 2 = 2,89 (мин).