Локально-одномерная схема Самарского А.А.

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение параболического типа

(1.5.1)

Сейчас, мы рассмотрим разностную схему, которую Самарский А.А. называет локально-одномерной схемой (ЛОС) [26]. Эта схема легко обобщается на случай переменных и разрывных коэффициентов и для произвольной области, а также на многомерный случай.

Для этой схемы разностные уравнения для дифференциального уравнения (1.5.1) принимают вид:

(1.5.9)

Каждая из систем (1.5.9а) и (1.5.9б), вместе с граничными условиями содержит в общем случае (M+1)(N+1) алгебраических уравнений с (М+1)(N+1) неизвестных. Системы имеют трех диагональную матрицу и решаются методом прогонки. Порядок решения системы аналогичен порядку решения системы(1.5.8):.

Однако здесь

(1.5.10)

т.е. сумма значений мощности источника на n+1/2 и n+1 временных слоях равна искомому значению мощности источника.

Необходимо отметить, что при использовании ЛОС имеет значение процесс организации прогонки и момент вывода результатов на печать. Решение систем разностных уравнений начинается одной серией прогонок, на пример по оси X. За тем выполняются дважды прогонки по оси Y, дважды по оси X и т. д. Перед выводом на печать результата производится лишь одна серия прогонок по оси X. При выполнении этого правила расчет дает правильные не только количественные, но и качественные результаты. Если это правило не выполняется, то при верных, например, забойных давлениях получаются некачественные карты изобар, построенные по совокупности всех узловых точек области интегрирования.

 

11.Схематизация залежи в случае однофазной фильтрации. Способ задания реальных скважин на модели.

Для задания граничных условий применяются следующие правила:

1.Внешний контур проводится между соседними узлами сетки.

2. Дебиты скважин задаются в виде источников, а сами скважины считаются, расположенными в узлах сетки.

При такой аппроксимации граничные условия на внешней границе имеют вид (условия непроницаемости контура, ).

 

; ;

(1.5.11a)

 

Т.е. () и () в уравнении (1.5.2)

На скважинах задаются условия, что мощность источников ()- функция времени, т.е.

(1.5.11б)

Т.к. мощность источника, это дебит, приходящийся на объем элемента пласта с размерами , то, заменяя объем ячейки равновеликим кругом и считая, что в этой области справедлив нелинейный закон фильтрации, например, для идеального газа, можно получить выражения для давления в реальной скважине.

Действительно, пусть U _ij = , тогда (1.5.12)

Где или , при этом ,

 

12.Постановка задачи и основные уравнения при фильтрации многокомпонентных многофазных смесей.(+14)

В случае неизотермической фильтрации система (2.1.3) (2.1.4) дополня­ется уравнением сохранения полной энергии [32,33], которое может быть записано в следующем виде [24]:

(2.1.7)

где - пористость в точке пласта, зависящая от давления; - внешнее тепло; - внешняя работа на межфазовых поверхностях; - работа сил давления; - внутренняя энергия фазы; - кинетическая энергия; - потенциальная энергия /остальные обозначения см. выше/. (2.1.8)

Учитывая,что , где - удельная парциальная энтальпия, - удельный парциальный объем, - удельная парциальная внутренняя энергия, из (2.1.7) имеем

или

(2.1.9)

Уравнение неразрывности для " "- го компонента в фазе " " с учетом фазового перехода можно записать в виде:

, (2.1.10)

где - перенос массы компонента " " из одной фазы в другую.

Из (2.1.9) с учетом (2.1.10) имеем:

(2.1.11) Примем согласно [126], что

(2.1.12)

и - твердая фаза, - сила межфазового вза­имодействия, - работа на межфазовых поверхностях в единицу времени.

(2.1.13)

где - коэффициент теплопроводности фазы; - коэффициент теплопроводности породы; - плотность породы; - теплоемкость породы; - температура; - количество тепла, поступающее через кровлю и подошву пласта.

Так как

, (2.1.14) то из (2.1.11), пренебрегая и учитывая (2.1.13),(2.1.14), а также известные термодинамические соотношения:

,

имеем окончательно:

(2.1.15)

Здесь - теплоемкость фазы при постоянном давлении; - коэф­фициент Джоуля-Томпсона; - коэффициент адиабатического расшире­ния фазы /остальные обозначения см. выше/.

Выражения для и получаются из известных термодинамических соотношений /см. например, [177]/.

Так как пористая среда неподвижна, то = 0. Далее, пренебре­гая величиной и учитывая, что , имеем из (2.1.15) с использованием (2.1.3) для случая = 3 и = 3: (2.1.16)

В (2.1.16) учитывается, что нефть и вода взаимонерастворимы и тогда

,

-определяется из уравнения неразрывности (2.1.10), а пористость есть функция среднего давления, равного , и температуры,

, - температурный коэффициент расширения,

- характерная величина температуры, а замыкающие соотношения: