![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Числовые характеристики некоторых случайных величин
Числовые характеристики распределения вероятностей полезны тем, что помогают составить наглядное представление об этом распределении. Пусть Х1, Х2, …., Хn - взаимно независимые, одинаково распределенные случайные величины, а следовательно, одинаковы и их числовые характеристики. Обозначим среднее арифметическое этих величин через Тогда справедливы следующие предложения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического 1. Математическое ожидание среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин, то есть М( 2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин D( Для среднего квадратического отклонения имеет место
Так как D и s служат мерами рассеяния случайной величины, то из (*) и (**) следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Более общими характеристиками случайных величин являются так называемые начальные и центральные теоретические моменты различных порядков. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk, то есть
В частности, при k = 1 получаем математическое ожидание
С помощью моментов первого и второго порядков можно получить следующую формулу для дисперсии
Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание отклонения степени k
В частности,
Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулу
Докажем, например, второе соотношение. По определению
Используя свойства математического ожидания и учитывая, что М(Х) есть постоянная величина, получим
Упражнения
1. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение
2. Среди купленных семи билетов – три билета в партер. Наудачу взяли 4 билета. Составить закон распределения числа билетов в партер среди взятых. Найти функцию распределения этой случайной величины. 3. В коробке среди пяти деталей – две окрашенные. Детали извлекаются последовательно до появления обеих окрашенных деталей, после чего извлечения прекращаются. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных деталей. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины. 4. Закон распределения случайной величины имеет вид Х 1 2 Р 0,3 0,7 Случайная величина Y биноминального распределения с параметрами n = 2, p = 0,4. Составить закон распределения случайной величины 5. Имеется пять ключей из которых два подходят к замку. Составить закон распределения числа Х проб при открывании замка, если использованный ключ в последующих пробах не участвует. Найти функцию распределения случайной величины Х, её математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). 6. При первичной поломке прибора, которая возможна с вероятностью 0,2, прибор ремонтируется. При вторичной поломке, происходящей с вероятностью 0,5, прибор снимается с испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, снятых с испытаний из трех проверяемых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 7. Полоса препятствий некоторых соревнований содержит три рубежа различной сложности. Спортсмен преодолевает эти рубежи без штрафных очков с вероятностями 0,8, 0,6, 0,4 соответственно. Составить закон распределения случайной величины Х – числа рубежей полосы препятствий, пройденных без штрафных очков. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой величины. 8. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а с каждым следующим выстрелом она уменьшается на 0,1. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
9. Лампочки елочной гирлянды соединены последовательно. Одна из них перегорела. Составить закон распределения числа проверенных лампочек до обнаружения перегоревшей, если в гирлянде 8 лампочек. Найти дисперсию этой случайной величины. 10. В ящике из 12 деталей – 8 окрашенных. Составить закон распределения случайной величины Х – числа окрашенных деталей среди четырех извлеченных, если после регистрации наличия (или отсутствия) окрашенности очередной извлеченной детали последняя возвращается назад в ящик. 11. Дискретная случайная величина Х принимает два значения: 12. Два товароведа проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85 %, вторым – 90 %. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти математическое ожидание и дисперсию числа готовых изделий среди отобранных. 13. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода – 5 %, второго – 2 %, третьего – 3 %. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных. 14. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, а вероятность того, что второй – 0,8. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Найти функцию распределения случайной величины. 15. Партия содержит 20 телевизоров, среди которых шесть с дефектом. Купили два телевизора. Составить закон распределения исправных телевизоров. 16. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях. 17. Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске для первого 0,8, для второго – 0,7. Всего производится пять бросков. Составить закон распределения числа попаданий для каждого игрока, если начинает бросать первый баскетболист, а также закон распределения общего числа попаданий. 18. Вероятность того, что денежный автомат при опускании монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата. 19. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равном 0,7. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 20. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Вычислить её математическое ожидание и дисперсию, пользуясь только их определениями, а результаты проверить по формулам этих характеристик для случайной величины, распределенной по биноминальному закону.
Закон больших чисел
Громадный опыт, накопленный человечеством за многовековую историю существования, дает основание принять в практической деятельности следующий принцип.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 1122; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.149.180 (0.01 с.) |