![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Точечные оценки истинного значения и среднеквадратического отклонения
Мы подошли к решению вопроса о том, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение, т.е. найти результат измерений, как оценить его точность, т.е. меру его приближения к истинному значению. Эта задача является частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки - ряда значений, принимаемых этой величиной в n независимых опытах. Оцениваемыми параметрами являются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, поскольку только они входят в выражение для дифференциальных функций всех трех рассмотренных выше распределений. В уравнениях (25) и (30) для нормального распределения и распределения Лапласа эти параметры входят явно, а в уравнения (23) и (24) для равномерного распределения - не явно, поскольку Оценку К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров. 1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра. 2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. 3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения. Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений
Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений Если рассматривать Q и Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок
Для упрощения вычислений иногда бывает удобнее пользоваться логарифмической функцией правдоподобия
Если наибольшее значение функции правдоподобия совпадает с максимальным значением, то оценки получаются из системы уравнений
В противном случае необходимо более подробное исследование функции правдоподобия. Далее определим оценки максимального правдоподобия для трех распределений случайных погрешностей, представленных в предыдущей главе. 1. Результаты наблюдений распределены нормально. В этом случае
a логарифмическая функция правдоподобия в соответствии с (32) Система уравнений (33) приводится к виду
Из первого уравнения получаем выражение для оценки истинного значения Таким образом, при нормальном распределении случайных погрешностей оценкой максимального правдоподобия для истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии - среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического. 2. Результаты наблюдений распределены по закону Лапласа
Логарифмическая функция правдоподобия не является дифференцируемой по Q, поэтому приходится прибегать к численным методам, функция правдоподобия достигает наибольшего значения, когда выражение 3. В условиях равномерного распределения погрешностей
Решение задачи нахождения оценки максимального правдоподобия для равномерного распределения погрешностей проводим численными методами, в результате чего получаем: Основное достоинство оценок максимального правдоподобия в том, что они являются асимптотически (при Если Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеются особые обозначения. Оценкой истинного значения является среднее арифметическое
Вторая производная от логарифмической функции преобразования равна
Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять как
Дисперсия оценки
С помощью полученных оценок итог измерений можно записать в виде
Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку. Легко заметить, что среди всех линейных оценок истинного значения вида
Оценка с помощью интервалов Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров. Вначале остановимся на определении доверительного интервала для среднего арифметического значения измеряемой величины. Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально и известна дисперсия
Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью Половина длины доверительного интервала
Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в
Половина длины нового доверительного интервала
Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением
Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:
Величины Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (41) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает
Пример. По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L =15.785 мм, Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента. Вычисляем значение дроби Стьюдента
.
Для
Для
Пример. В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности
При
В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной. Кроме того, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений распределение среднего арифметического как суммы случайных величин Соотношения (38) показывают, что итог измерения не есть одно определенное число. В результате измерений мы получаем лишь полосу значений измеряемой величины. Смысл итога измерений, например, L =20.00±0.05 заключается не в том, что L = 20.00, как для простоты счи-тают, а в том, что истинное значение лежит где-то в границах от 19.95 до 20.05. К тому же нахождение внутри границ имеет некоторую вероятность, меньшую, чем единица, и, следовательно, нахождение вне границ не исключено, хотя и может быть очень маловероятным. Теперь найдем доверительные интервалы для дисперсии и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений. Если распределение результатов наблюдений нормально, то отношение
Кривые плотности Значения Пользуясь этой таблицей, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов наблюдений при заданной доверительной вероятности. Этот интервал строится таким образом, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некоторой малой величины q, причем вероятности выхода за обе границы интервала были бы равны между собой и составляли соответственно q /2 (рис.10). Границы
Теперь, зная границы доверительного интервала для отношения
Пример. Даны результаты двадцати измерений длины Таблица 3
В качестве оценки математического ожидания длины детали принимаем ее среднее арифметическое
Точечная оценка среднеквадратического отклонения результатов наблюдений составляет:
Границы доверительного интервала для среднеквадратического отклонения результатов наблюдений находим по формуле (47):
В табл.П.6 приведены значения
где Тогда границы доверительного интервала для среднеквадратического отклонения результатов наблюдений при доверительной вероятности
Так, если в условиях предыдущей задачи среднеквадратическое отклонение определено на основании
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 837; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.10.244 (0.092 с.) |