числовые характеристики двумерных случайных величин. условное математическое ожидание. графики регрессионных зависимостей.

Определение. Если на одном и том же пространстве элементарных событий заданы две случайные величины Х и Y, то говорят, что задана двумерная случайная величина (Х,Y).

Пример. Станок штампует стальные плитки. Контролируются длина Х и ширина Y. − двумерная СВ.

СВ Х и Y имеют свои функции распределения и прочие характеристики.

Определение. Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,Y)называется функция .

Определение. Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (Х,Y) называется таблица

			…
…

Здесь ; .

Для двумерной дискретной СВ .

Свойства :

1) ;

2) если , то ; если , то ;

3) ;

;

4) − функция распределения Х;

− функция распределения Y.

Вероятность попадания значений двумерной СВ в прямоугольник:

Определение. Двумерная случайная величина (Х,Y) называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную смешанную частную производную 2-го порядка .

Условное математическое ожидание в теории вероятностей — это среднее значение случайной величины относительно условного распределения. Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть — интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также — σ-подалгебра σ-алгебры . Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется

,

где — σ-алгебра, порождённая случайной величиной .

Другое определение УМО относительно :

Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:

· найти математическое ожидание случайной величины , принимая за константу ;

· Затем в полученном выражении обратно заменить на случайную величину .

Пример:

Пусть — произвольное событие, и — его индикатор. Тогда условной вероятностью относительно называется

.

1. Регрессио́нный анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными. Терминология зависимых инезависимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных (см. Ложная корреляция), а не причинно-следственные отношения. Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа. Определение степени детерминированности вариации критериальной (зависимой) переменной предикторами (независимыми переменными)

2. Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых)

3. Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой

4. Строго регрессионную зависимость можно определить следующим образом. Пусть — случайные величины с заданным совместным распределением вероятностей. Если для каждого набора значений определено условное математическое ожидание

5. (уравнение регрессии в общем виде),

6. то функция называется регрессией величины по величинам , а её график — линией регрессии по , или уравнением регрессии.

7. Зависимость от проявляется в изменении средних значений при изменении . Хотя при каждом фиксированном наборе значений величина остаётся случайной величиной с определённым распределением.

8. Для выяснения вопроса, насколько точно регрессионный анализ оценивает изменение при изменении , используется средняя величина дисперсии при разных наборах значений (фактически речь идет о мере рассеяния зависимой переменной вокруг линии регрессии).

9. В матричной форме уравнение регрессии (УР) записывается в виде: , где — матрица ошибок. При обратимой матрице X◤X получается вектор-столбец коэффициентов B с учётом U◤U=min(B). В частном случае для Х=(±1) матрица X◤X является рототабельной, и УР может быть использовано при анализе временны́х рядов и обработке технических данных.