Дифференциальные уравнения первого порядка

 

 Дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и первая производная этой функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

 

F (x, y, y ¢) = 0.                                                                                    (6.7)

                                                                                                   

Здесь F - заданная функция трех аргументов. Она может не зависеть от x или y (или от обеих переменных), но должна содержать y ¢. Если уравнение (6.7) разрешить относительно y ¢, то получим разрешенный вид

 

y ¢ = f (x, y),                                                                                              (6.8)

                                                                                                         

где f - заданная функция от x и y или правая часть уравнения (6.8). В дальнейшем мы будем рассматривать только уравнения в разрешенном виде. Решение дифференциального уравнения (6.8) - это функция y = φ (x), которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:

 

.

 

Пример 1. Дано уравнение y ¢ + y ctg x - 2 cos x = 0.

 Покажем, что функция y = sin x является его решением. Для этого подставим в данное уравнение вместо y и y ¢ функции sin x и (sin x)¢ = cos x. Получим

 

cos x + sin x ctg x - 2cos x = cos x + cos x - 2cos x º 0.

 

Уравнение обратилось в тождество.

Функция

 

  y = j (x, C)                                                                                         (6.9)

 

называется общим решением уравнения (6.7), если она является решением этого уравнения при всех значениях произвольной постоянной C.

Если общее решение задано в неявном виде j (x, y, C) = 0, то оно называется общим интегралом. Частное решение уравнения (6.7) - это решение, которое получается из общего (6.9) при конкретном значении C.

Для дифференциального уравнения (6.7) задача Коши формулируется так: среди всех решений уравнения найти решение y = y (x), удовлетворяющее условию

 

                                                                                            (6.10)

 

где x ₀, y ₀ - заданные числа.

Условие (6.10) называется начальным условием, а числа x ₀, y ₀ - начальными значениями.

 

Уравнения с разделяющимися переменными - это уравнение, правая часть которого f (x, y) есть произведение двух сомножителей f (x) и g (y), каждый из которых зависит только от одной переменной

 

y ¢ = f (x) ∙ g (y).

                                                                                                         (6.11)

 

Уравнения с разделяющимися переменными интегрируются следующим образом: y¢ заменяется на , затем умножаются обе части (6.11) на .

Получим:

 

                                                            (6.12)

 

Дифференциалы переменных x и y, и соответствующие функции стоят отдельно, т. е переменные отделены.

Если обозначить G (y) = , F (x) = , то уравнение (6.12) можно переписать в виде

 

dG (y) = dF (x).

 

Так как из равенства дифференциалов двух функций следует, что сами функции отличаются на произвольное постоянное слагаемое, то

 

G (y) = F (x) + C

или

.                                                                             (6.13)

 

Выражение (6.13) представляет собой общий интеграл уравнения (6.11). Вычислив интегралы в (6.13), получим решение исходного уравнения

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разрешим уравнение относительно y ¢:

Здесь f (x) = -1/ х, а g(y) = y.

Заменим в этом уравнении y ¢ на  и умножим обе части уравнения на

.

Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим

 

,

 

где C ₁ - произвольная постоянная.

Отсюда следует ответ: l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + C₁. В данном случае удобно вместо C ₁ написать C _{1 =} l n C ₂ (C ₂ > 0).

Тогда l n ½ y ½ = - l n ½ x ½ + l n C ₂ или

Так как ±C₂  принимает любые значения, то обозначая ±C₂ = C, окончательно получим

где C - произвольная постоянная.

Эта формула и дает общее решение заданного уравнения. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальному условию y ½ _{x =4} = . Для этого в равенство подставим вместо x и y значения 4 и . Получим . Отсюда следует, что C = 2. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

 

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции y(x) и ее производной y¢(x). В общем случае оно имеет вид

 

  y ¢ + p (x) y = f (x).

                                                                                                       (6.14)

 

Если f (x) º 0, то уравнение называется линейным уравнением без свободного члена (правой части) или линейным однородным уравнением. Итак, 

 

y ¢ + p (x) y = 0 

 

линейное однородное уравнение (оно же уравнение с разделяющимися переменными).

Если f (x) ¹ 0, то уравнение (6.14) называется линейным неоднородным уравнением.

Например, уравнение y ¢ - y cos² x = х ² является линейным неоднородным уравнением. Однородное по отношению к нему будет уравнение y ¢ - y cos² x = 0. Уравнение (6.14) можно интегрировать разными методами. Мы рассмотрим метод Бернулли. Он состоит в следующем. В уравнении (6.14) делаем замену:

 

y = u (х) ∙ v (х).                                                                              (6.15)

                                                                                                

Дифференцируя по правилу «производная произведения двух функций», имеем

 

y ¢ = u ¢ (х) ∙v (х) + u (х) ∙ v ¢ (х)                                                                   (6.16)

                                                                              

Подставим в уравнение (6.14) вместо y и y ¢ их выражения из (6.15) и (6.16), получим

 

u ¢ (х) v (х) + u (х) v ¢ (х) + p (х) u (х) v (х) = f (х)

 

или

u ¢ v + u [ v ¢ + p(x)v ] = f (х) .                                                                    (6.17)

Так как одну из функций в (6.17) можно выбрать произвольно, то функцию v выберем таким образом, чтобы коэффициент при u обратился в нуль, т.е.

 

v ¢ + p (x) v = 0.                                                                                        (6.18)

                                                                                                   

Уравнение (6.18) относительно функции v (x) является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому из (6.18) имеем:

 

 

Интегрируя, находим

 

 

Так как функция v - это любая функция, удовлетворяющая (6.18), то полагаем C = 0. Итак,

 

ln (v) = -   Þ .

Представляя найденную функцию v (x) в уравнение (6.17), получим

 

Отсюда следует

 

 

Интегрируя, получим

 

                                                              (6.19)

 

где C - произвольная постоянная. Для того, чтобы найти y (x), умножим найденную u (x) на v (x):

 

                                     (6.20)

 

Формула (6.20) дает общее решение дифференциального уравнения (6.14).

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это линейное неоднородное уравнение, где

Выполнив замену y = u ∙ v, получаем y ¢ = u ¢ v + uv ¢. Заданное дифференциальное уравнение перепишем в виде

или

.

Приравняем выражение в скобках нулю:

 

.

 

Получили уравнение для функции v (x) - уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

 

 

Подставляя функцию v (x) в уравнение, найдем уравнение для функции u (x):

u ¢(x ² + 3) = (x ² + 3) cosx.

Отсюда следует

u ¢ = cos(x) или u =   Þ u = sin(x) + C.

Теперь находим общее решение заданного уравнения y (x):

y = uv Þ y = (sin (x) + C)∙(x ² + 3).