Критерии оценивания практических работ

Процент результативности (правильных ответов)	Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений
	балл (отметка)	вербальный аналог
90 – 100	5	отлично
65 – 89	4	хорошо
45 – 64	3	удовлетворительно
менее 45	2	неудовлетворительно

Примечание:

Отметка «5» ставится, если

Работа выполнена в полном объеме с соблюдением необходимой последовательности. Обучающейся работает полностью самостоятельно: подбирает необходимые для выполнения предлагаемых работ источники знаний, показывает необходимые для проведения работы теоретические знания, практические умения и навыки. Работа оформляется аккуратно, в наиболее оптимальной для фиксации результатов форме.

Отметка «4» ставится, если

Работа выполнена обучающимся в полном объеме и самостоятельно. Допускаются отклонения от необходимой последовательности выполнения, не влияющие на правильность конечного результата. Обучающийся использует, указанные преподавателем источники знаний. Показывает знания, основываясь на теоретический материал и владеет умениями, необходимыми для самостоятельного выполнения работы. В работе могут быть неточности и небрежность в оформлении результатов работы.

Отметка «3» ставится, если

Работа выполняется и оформляется обучающимся при помощи преподавателя На выполнение работы затрачивается много времени. Обучающийся показывает знания теоретического материала, но испытывает затруднение при самостоятельной работе с источниками знаний или приборами.

Отметка «2» ставится, если

Результаты, полученные обучающимся не позволяют сделать правильных выводов и полностью расходятся с поставленной целью. Показывается плохое знание теоретического материала и отсутствие необходимых умений.

Отметка «1» ставится, если

Работа не выполнена, у обучающегося отсутствуют необходимые для проведения работы теоретические знания, практические умения и навыки.

 

Преподаватель имеет право поставить ученику оценку выше той, которая предусмотрена нормами, если им работа выполнена в оригинальном варианте. Оценки с анализом работ доводятся до сведения учащихся, как правило, на последующем уроке; предусматривается работа над ошибками и устранение пробелов в знаниях и умениях учеников.

Практическая работа выполняется в сроки, установленные в соответствии с календарно-тематическим планом. За каждую практическую работу студент должен получить положительную оценку.

Итоговой формой изучения дисциплины является экзамен для всех специальностей. Студенты, не выполнившие все практические работы, не аттестуются и к экзамену не допускаются.

Помните, что «царского пути» в математике нет и дорогу осилит только упорно идущий! Но, с другой стороны, не так страшна математика как ее малюют. Искренне желаем успехов!

 

 

3. Тематика и содержание практических занятий по математика

АЛГЕБРА Раздел 1. Развитие понятия о числе.

 

Практическое занятие

Приближенные вычисления

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешности суммы, разности, произведения и частного приближенных значений чисел;

уметь:

- вычислять сумму, разность, произведение и частное приближенных значений чисел.

Сведения из теории:

Сложение приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

Δ(a + b)=Δ a +Δ b,

где a и b – приближенные значения чисел; Δ a и Δ b – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности сумы вычисляется по формуле:

ε _{a + b} = .

 

Пример 1. Найти сумму S приближенных значений чисел 6,8±0,05; 4,3±0,05 и 3,575±0,0005.

Решение: вычислим сумму заданных чисел и сумму их погрешностей:

S=6,8+4,3+3,575=14,675;

ΔS=0,05+0,05+0,0005=0,1005.

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах 0,05<0,1005<0,5. В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц). Полученный результат округлим до единиц S=14,675≈15.

 

Вычитание приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности разности двух приближенных значений чисел равна сумме границ их абсолютных погрешностей:

Δ(a - b)=Δ a +Δ b.

Граница относительной погрешности разности вычисляется по формуле:

ε _{a - b} = .

Пример 2. Вычислить разность двух приближенных значений чисел a =5,863±0,0005 и b =2,746±0,0005. Найти Δ(a - b) и ε _{a - b}.

Решение: вычисляем границу абсолютной погрешности разности a - b:

Δ(a - b)=0,0005+0,0005=0,001.

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как Δ(a - b)>0,0005. Итак, a - b =3,117≈3,12. Абсолютная погрешность разности 0,001. В приближенном числе 3,12 все цифры верные. Находим относительную погрешность разности:

ε _{a - b} = =0,00032≈0,03%.

Умножение приближенных значений чисел

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного) сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем границу абсолютной погрешности произведения (частного).

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешности некоторых функций приведены в таблице 1.

 

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей.

№ п/п	Функция	Граница абсолютной погрешности	Граница относительной погрешности
1	y = ab	Δ y =| b |·Δ a+ | a |·Δ b
2	y = abc	Δ y =| bc |·Δ a+ | ac |·Δ b +| ab |·Δ c
3	y = a^n	Δ y = na^n-1 ·Δ a
4	y = a^2	Δ y =2 a ·Δ a
5	y = a^3	Δ y =3 a^2 ·Δ a
6	y =	Δ y =
7	y =	Δ y =
8	y =	Δ y =

 

Пример 3. Найти верные цифры произведения приближенных значений чисел a =0,3862 и b =0,8.

Решение: имеем 0,3862·0,8=0,30896. Границы абсолютной погрешности сомножителей равны 0,00005 и 0,05. По формуле  находим относительную погрешность произведения:

.

Находим границу абсолютной погрешности произведения:

Δ(ab)=0,30896·0,063=0,0195;

0,005 0,0195  0,05.

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых): 0,30896≈0,3.

 

Пример 4. Вычислить объем цилиндра V = π R ² H, если R =45,8 см, H =78,6 cм.

Решение: по формуле объема цилиндра, имеем

V = π·45,8²·78,6=517000 (см³).

Используя формулу  и полагая π≈3,14, находим относительную погрешность:

.

Находим границу абсолютной погрешности: 

Δ V =V·ε_V=517 000·0,0044 = 2270 (см³).

Верными цифрами являются 5 и 1.

 

Деление приближенных значений чисел

Пример 5. Найти границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел a =8,36±0,005 и b =3,72±0,004.

Решение: имеем 8,36:3,72=2,25.

По формуле  находим относительную погрешность частного:

.

Находим границу абсолютной погрешности частного:

Δ(a / b)=2,25·0,002=0,0045.

Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.

Пример 6. Вычислить X = , если известно, что a =7,2±0,05, b =3,46±0,03, с =5,09±0,04.

Решение: находим ;

;

Δ X = X ·ε _X = 0,844·0,015=0,0127; X =0,844±0,0127 или X 0,84±0,01.

 

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите сумму, разность, произведение и частное приближенных значений чисел:

1 вариант  с четырьмя значащими цифрами.	2 вариант 0,456±0,0005 и 3,35±0,005.	3 вариант  с четырьмя значащими цифрами.
4 вариант 8,72 и 2,6532, границы абсолютной погрешности которых соответственно равны 0,005 и 0,00005.	5 вариант 6,54±0,005; 16,022±0,0005 и 1,9646±0,00005.	6 вариант , взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001.
7 вариант  с четырьмя значащими цифрами.	8 вариант a =19,8±0,05 и b =48,4±0,03.	9 вариант a =68,4±0,02 и b =72,8±0,4.

Контрольные вопросы:

1. Перечислите действия над приближенными значениями чисел.

2. Перечислите формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций.

Практическое занятие

Комплексные числа

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- алгебраическую форму комплексного числа;

- тригонометрическую форму комплексного числа;

уметь:

- выполнять действия над комплексными числами, представленными в различных формах.

 

Сведения из теории:

Алгебраическая форма комплексного числа

Обозначим  и назовём мнимой единицей, (). Тогда число вида  где - любые действительные числа, назовём комплексным числом.

Здесь а - называют действительной частью комплексного числа,  - называют мнимой частью, b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Действия над комплексными числами,

представленными в алгебраической форме

Пусть даны два числа  и .

Для этих чисел понятия равенство и действия сложения, умножения определены следующим образом:

1) Два комплексных числа называются равными, если равны их действительная и мнимая части, т. е. а₁=а₂, b ₁ = b ₂.

2) Суммой двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число .

3) Произведением двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число .

4) Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому комплексному числу на плоскости и вычисляется по формуле: .

5) Аргументом комплексного числа называется угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси и вычисляется по формуле: . Т. о. для каждого комплексного числа можно указать бесконечное множество аргументов.

Для нахождения аргумента необходимо:

1. Определить в какой координатной четверти находится комплексное число.

2. Найти в этой четверти угол решив уравнение:

.

Пример 1. Решите квадратное уравнение: .

Решение: вычислим корни квадратного уравнения через дискриминант:

Получена пара взаимно - сопряжённых комплексных чисел  где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно – сопряжённые) корни.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами, представленными

в тригонометрической форме

Над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня n -ой степени.

Пусть даны два числа  и , тогда:

1) Произведением комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

2) Частным комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

3) Для возведения в степень: .

Пример 2. Упростите: .

Решение: упростим дробь (понизим степень числителя и знаменателя), используя ():

.

Подставим полученные выражения в исходную дробь и преобразуем её:

.

Пример 3. Вычислите: .

Решение: для первого комплексного числа используем формулу возведения в степень, а затем воспользуемся формулой произведения комплексных чисел:

Для извлечения корня n -й степени из комплексного числа используется формула:

,

где - арифметический корень, .

 

Пример 4. Решите уравнение: х ²-2 х +10=0.

Решение: для решения воспользуемся обычными формулами вычисления корней квадратных уравнений:

Получили пару комплексных взаимно сопряженных корней.

 

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2-6 х +13=0.	2 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2+3 х +4=0.
4 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2-4 х +16=0.	3 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: 9 х ^2+12 х +29=0.
5 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: 2,5 х ^2+ х +1=0.	6 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2-2 х +4=0.
7 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2-4 х +13=0.	8 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: 4 х ^2-20 х +26=0.
9 вариант №1. Выполните действия, вычислите аргумент и модуль комплексного числа: 1) ; 2) ; 3) . №2. Решите уравнение: х ^2-2 х +26=0.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение алгебраической форме комплексного числа.

2. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме.

3. Дайте определение тригонометрической форме комплексного числа.

4. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.