Плоская электромагнитная волна в диэлектрической однородной изотропной среде.

 

Это поле описывается ур-ми 1-7, но с учетом, что в нашем случае γ=0,ρ_своб=0, система уравнений выглядит следующим образом:

 ; ;  ;

 

Расчет поля заключается в нахождении  в любой точке исследуемого пространства. В общем случае эти векторы имеют 3 составляющих (x,y,z)

Шесть неизвестных - очень трудно решать, поэтому, сначала рассмотрим упрощенную задачу - плоскую ЭМ волну, т.е. рассмотрим волну у которой , зависят только от одной координаты, например от z.(Все поделили на )

Согласно (1) и (2) сумма этих слагаемых должна равняться 0. Т.к.  зависит только от z, а их X-овые и Y –овые составляющие =0.

, тогда без ущерба можно считать, что , с учетом этого запишем в декартовых координатах (3) и (4) ур-е:

По аналогии записываем (4) уравнение:

Найдем остальные составляющие , для этого приравняем коэффициенты левой и правой части уравнения при одних и тех же ортах:

Получим 4 равенства, из них нужно найти 4 неизвестных (их по-прежнему трудно решать). Предположим, что волна поляризована, т.е. каждый из векторов , все время имеют одно и то же направление, при этом из уравнений (б) и (в) можно получить, предварительно предположив, что вектор  поляризован вдоль оси OX, и поэтому  равно 0:

Следовательно, H_x –величина постоянная, поэтому без ущерба, можно предположить, что X-овая компонента =0 (H_x=0). Поэтому от , остается только H_y.

Для плоской поляризованной волны, вектора  расположены перпендикулярно.

В уравнение (а)-(г) остались неизвестными  и H_y.

Сначала находим E_x, для этого (5) дифференцируем по t, а (6) дифференцируем по z. (5’)подставляем в (6’)

Где  - волновая скорость (скорость распространения волны).

Например, если волна распространяется в пустоте, у которой , а , то  и распространяется со скоростью света. (7) можно решить либо классическим, либо операторным методом. Покажем, что решение (7) описывает распространение волн:

Где z и t –текущая координата и время фиксированной точки волны.

Выразим через ξ и η –z и t.

В формулу для D входят производные, поэтому найдем производные по новым переменным.

По аналогии расписываем производную по η:

С учетом скобок находим

DE_x=0

 

Решение этого уравнения по аналогии с длинными линиями, является:

По аналогии можно получить решение для магнитного поля:

,здесь  -есть , где Z- волновое сопротивление среды.

Если волна распространяется в пустоте (в воздухе), то

Поясним смысл φ и ψ:

φ- прямобегущая волна

ψ-обратноьегущая волна, обе бегут со скоростью v, это относится и к

И прямая и обратная волны не монохроматические.

Движущаяся ЭМ волна несет определенную ЭМ энергию.

Если существует только прямая или только обратная волна, то плотность электрического и магнитного полей одинаковы: .

z

Рассмотрим случай распространения волны в среде состоящей из 2х диэлектрических областей: 1 и 2.

ЭМ волна движется по нормали к границе сред (под углом 90)

Определим волновые (характеристические) сопротивления этих сред:

В нашей волне  имеет только H_y.Вектор  перпендикулярен к H_y и поэтому имеет только компоненту E_x. Волна подходит к границе прямой (падающей) волной: E_φ1 и H_φ1, а затем частично она пройдет во 2-ю среду: E_φ2 и H_φ2.

Другая часть падающей волны (E_φ1 и H_φ1) отразится от границы и пойдет назад: E_ψ1 и H_ψ1

Если волновые сопротивления одинаковы, отражаемых волн не будет. Если требуется не пропускать электрическое поле во вторую среду (E_φ2=0), нужно выбирать диэлектрик с минимальным Z₂, при этом преломленное магнитное поле H_φ2 будет равно 2H_φ1(удвоенному значению падающей волны).

Если волны  направлены под углом () к границе, нужно использовать таблицу 1. Э.М. волна несет определенную энергию, ее можно учесть и рассчитать с помощью вектора Пойнтинга-Умова.

 

Список литературы:

1. Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.1.2003

2. Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003

3. Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003

 

 

[1] Второй закон Кирхгофа