![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ітераційні методи розв’язання СЛАР.
Метод простих ітерацій При великій кількості рівнянь прямі методи розв’язання СЛАР (за винятком методу прогонки) стають важко реалізованими на ЕОМ насамперед через складність зберігання й обробки матриць великої розмірності. У той же час характерною рисою багатьох СЛАР, що виникають у прикладних задачах є розрідженість матриць. Число ненульових елементів таких матриць є малим у порівнянні з їхньою розмірністю. Для розв’язання СЛАР з розрідженими матрицями краще використати ітераційні методи. Методи послідовних наближень, у яких при обчисленні наступного наближення розв’язку використовуються попередні, уже відомі наближення розв’язку, називаються ітераційними (дивись 2.4). Розглянемо СЛАР (3.1) з невиродженою матрицею (det A ≠ 0). Розв’яжемо систему (3.1) щодо невідомих при ненульових діагональних елементах aii≠ 0, i= 1…n (якщо який-небудь коефіцієнт на головній діагоналі дорівнює нулю, досить відповідне рівняння поміняти місцями з будь-яким іншим рівнянням). Одержимо систему у вигляді
або у векторно-матричній формі X=β+αX. Тут Вирази для компонентів вектора β та матриці α еквівалентної системи:
При такому способі приведення вихідної СЛАР до еквівалентного вигляду метод простих ітерацій ще називають методом Якобі. За нульове наближення X (0) вектора невідомих візьмемо вектор правих частин X (0)=β або (x1(0),x2(0),…,xn(0))*= (β1,β2,…,βn)*. Тоді метод простих ітерацій набере вигляду
З (3.28) бачимо перевагу ітераційних методів у порівнянні, наприклад, з розглянутим вище методом Гауса. В обчислювальному процесі беруть участь тільки добутки матриці на вектор, що дозволяє працювати тільки з ненульовими елементами матриці, значно спрощуючи процес зберігання й обробки матриць. При цьому не відбувається накопичення похибки заокруглення. Визначення збіжності ітераційного процесу можна знайти в 2.3-2.5. З огляду на сформульовані там теореми, має місце достатня умова збіжності методу простих ітерацій для СЛАР. Теорема. Метод простих ітерацій (3.28) збігається до єдиного розв’язку СЛАР(3.26)(а отже, й до розв’язку вихідної СЛАР (3.1)) при будь-якому початковому наближенні Х(0), якщо яка-небудь норма матриці
Якщо ж розглядати СЛАР у вигляді (3.1), то достатньою умовою збіжності є діагональна перевага матриці А, тобто При виконанні достатньої умови збіжності оцінка похибки розв’язку на k – й ітерації дається виразом
де X * - точний розв’язок СЛАР. Процес ітерацій зупиняється при виконанні умови e (к) £ e, де e - задана точність розв’язку. Беручи до уваги, що з (3.29) випливає нерівність
можна одержати апріорну оцінку необхідного для досягнення заданої точності числа ітерацій. При використанні за початкове наближення вектора b будемо мати нерівність
звідки отримаємо апріорну оцінку числа ітерацій k при
Варто підкреслити, що ця нерівність дає завищене число ітерацій k, тому рідко використовується на практиці. Зауваження. Оскільки Приклад. Методом простих ітерацій розв’язати СЛАР з точністю ε =0,01. Розв’язання. Приведемо СЛАР до еквівалентного вигляду
Визначимо Ітераційний процес має в такий вигляд: Таким чином, обчислювальний процес завершений за 4 ітерації. Відзначимо, що точний розв’язок СЛАР в цьому випадку відомий Х *=(1,1,1)*. Звідси випливає, що задану точність ε=0,01 задовольняло наближення, отримане вже на третій ітерації. Відзначимо, що апріорна оцінка необхідної кількості ітерацій дає k+ 1≥(-2+lg0,6-lg1,4)/lg0,4=5,95, тобто для досягнення точності ε=0,01, відповідно до апріорної оцінки, необхідно зробити не менше п'яти ітерацій, що ілюструє характерну для апріорної оцінки тенденцію до завищення числа ітерацій.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 147; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.189.171.52 (0.006 с.) |