Определители второго и третьего порядков

Понятие о матрице

При решении многих математических и прикладных задач возникает необходимость рассматривать совокупность чисел, расположенных в виде таблиц, что позволяет значительно упростить форму записи.

Например, информация о системе трех уравнений с тремя неизвестными

может быть закодирована с помощью таблицы

,

а информация о коэффициентах системы – с помощью другой таблицы:

.

С помощью таблиц можно задавать функции и другие объекты.

Введем новое понятие. Прямоугольной матрицей  размера  называется таблица чисел

,

содержащая  строк и  столбцов.

Числа называются элементами матрицы. Первый индекс i – номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k – номер столбца. На практике используются краткие обозначения матрицы

, или

Если размеры матрицы совпадают , она называется квадратной матрицей n -го порядка.

Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если при .

.

Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее элементы равны единице :

.

Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей.

Матрица размера  называется – матрица-столбец

.

Матрица размера  называется – матрица-строка

.

Две матрицы размера  и  называются равными тогда и только тогда, когда  при всех  и .

 

 

Действия с матрицами

Суммой двух матриц A и B размера  называется новая матрица C = A + B, того же размера, элементы, которой вычисляются по формуле

Произведением матрицы A размера  на число  называется новая матрица C = l A, того же размера, элементы, которой вычисляются по формуле

 

Относительно введенных действий справедливы следующие свойства:

1) Коммутативность

А+В=В+А

l A = A l

2) Ассоциативность

(А+С) +В=А+ (С+В)

3) Дистрибутивность

(А+В)= А+ В

Произведением матрицы A размера  на матрицу B размера  называется новая матрица С= AB размера  элементы которой вычисляются по формуле

Вычислить произведение матриц

Решение:

Имеют место следующие свойства:

1) Некоммутативность

2) Ассоциативность

А (ВС) = (АВ) С

3) Дистрибутивность

(А+В) С=АС+ВС

Вычислить произведения АВ и ВА

Решение:

Этот пример демонстрирует некоммутативность произведения матриц. Если в отдельных случаях имеет место АВ=ВА, то такие матрицы называются перестановочными.

Легко проверить, что с квадратная единичная матрица и любая квадратная матрица будут перестановочными

AE = EA = A

 

Определитель матрицы

ПРИМЕР

Для определителя

привести минор M ₂₃ и алгебраическое дополнение A ₁₂.

 

Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

 – главный определитель системы,

 – вспомогательный определитель системы.

 – два других вспомогательных определителя системы.

Формулы

                                                                 

называются – формулами Крамера.

Решение системы можно найти:

,

,

.

 

Замечание:

1. Если , то система имеет единственное решение.

2. Если  и хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система не имеет решения.

3. Если  и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений.

Формулы Крамера остаются справедливыми в случае системы п линейных уравнений с п неизвестными.

Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений общего вида:

и введем обозначения

Здесь А – матрица системы, В – расширенная матрица системы, число неизвестных равно n.

Очевидно, что

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система имеет бесчисленное множество решений.

3) Если , то система не имеет решений.

С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы приводят к диагональной форме. Совершают обратный переход к системе эквивалентной исходной. Из полученных уравнений находят значения неизвестных.

Действия с векторами

Суммой двух векторов a и b называется новый вектор c = a + b, который определяется по правилу параллелограмма или по правилу треугольника.

a

b

c=a+b

a–b

a

b

c=a+b

Произведением вектора a на действительное число l называется новый вектор c = l a, удовлетворяющий следующим условиям:

1. Модуль вектора – | c | = | l | | a |

2. Векторы коллинеарны – c || a

3. Если l >0, то векторы a и с сонаправлены, если l <0, то векторы a и с противонаправлены.

Вектор (–1)× b =– b называется противоположным вектором по отношению к вектору b.

Очевидно, что 0 × a = q  , b + (– b) = q

Разностью двух векторов называется выражение

  a – b = a + (– b). Графически разность векторов представляет вторую диагональ правила параллелограмма.

Относительно введенных действий сложения векторов и умножения вектора на число справедливы обычные законы алгебры:

1. Закон коммутативности

a + b = b + a

l a=a l

2. Закон ассоциативности

a+ (b+c) = (a+b) +c

(l m) a = l (m a)

3. Закон дистрибутивности

l (a + b)= l a + l b

(l+m) a =l a +m a

 

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор c = a ´ b, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. Модуль вектора c = a ´ b численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

2. Вектор c = a ´ b ортогонален векторам a и b.

3. С вершины вектора c = a ´ b поворот от первого сомножителя ко второму виден против часовой стрелки (векторы  образуют правую тройку векторов).

a

b

c=a ´ b

Для того, чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы векторное произведение было равно нуль–вектору.

Выражение векторного произведения через координаты

                                               

Из этой формулы получается условие коллинеарности векторов, заданных координатами

Векторное произведение двух векторов применяют для вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах,

для вычисления площади треугольника, построенного на этих векторах,

.

 

Понятие о матрице

При решении многих математических и прикладных задач возникает необходимость рассматривать совокупность чисел, расположенных в виде таблиц, что позволяет значительно упростить форму записи.

Например, информация о системе трех уравнений с тремя неизвестными

может быть закодирована с помощью таблицы

,

а информация о коэффициентах системы – с помощью другой таблицы:

.

С помощью таблиц можно задавать функции и другие объекты.

Введем новое понятие. Прямоугольной матрицей  размера  называется таблица чисел

,

содержащая  строк и  столбцов.

Числа называются элементами матрицы. Первый индекс i – номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k – номер столбца. На практике используются краткие обозначения матрицы

, или

Если размеры матрицы совпадают , она называется квадратной матрицей n -го порядка.

Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если при .

.

Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее элементы равны единице :

.

Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей.

Матрица размера  называется – матрица-столбец

.

Матрица размера  называется – матрица-строка

.

Две матрицы размера  и  называются равными тогда и только тогда, когда  при всех  и .

 

 

Действия с матрицами

Суммой двух матриц A и B размера  называется новая матрица C = A + B, того же размера, элементы, которой вычисляются по формуле

Произведением матрицы A размера  на число  называется новая матрица C = l A, того же размера, элементы, которой вычисляются по формуле

 

Относительно введенных действий справедливы следующие свойства:

1) Коммутативность

А+В=В+А

l A = A l

2) Ассоциативность

(А+С) +В=А+ (С+В)

3) Дистрибутивность

(А+В)= А+ В

Произведением матрицы A размера  на матрицу B размера  называется новая матрица С= AB размера  элементы которой вычисляются по формуле

Вычислить произведение матриц

Решение:

Имеют место следующие свойства:

1) Некоммутативность

2) Ассоциативность

А (ВС) = (АВ) С

3) Дистрибутивность

(А+В) С=АС+ВС

Вычислить произведения АВ и ВА

Решение:

Этот пример демонстрирует некоммутативность произведения матриц. Если в отдельных случаях имеет место АВ=ВА, то такие матрицы называются перестановочными.

Легко проверить, что с квадратная единичная матрица и любая квадратная матрица будут перестановочными

AE = EA = A

 

Определитель матрицы

Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

Определителем второго порядка этой матрицы называется число – . Обозначают определители следующим образом

.

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вводится с помощью формулы

.

Для вычисления определителей третьего порядка существует два правила – правило треугольников и правило дополнений.

Вычислим определитель

.