Работающей на растяжение и сжатие.

Задание: Рассчитать на прочность по допускаемым напряжениям статически определимую стержневую систему. Определить перемещение

узла В. Стержень изготовлен из стали: Е = 2・105 МПа; [σ] = 140 МПа. Весом стержня пренебречь.Схема стержня приведена на рис. 3.

Исходные данные: F=80кН; l= 1,3 м; , .

Решение:

1. Составим уравнения равновесия и определим усилия в стержнях. Для этого мысленно вырежем узел В. В местах разрезов приложим неизвестные пока усилия и в направлении, вызывающем растяжение стержней.

Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержневую систему силы: силы , , и .

Положительные значения усилий и указывает на то, что стержни испытывают растяжения.

 

2. Подбираем из условия прочности размеры стержней:

а) для стержня ВС

=1,07 см²

В соответствии с сортаментом на стальные уголки по ГОСТ 8509–93 принимаем уголок № 2 с А = 1,13 см².

б) для стержня ВА

=8,02 см²

В соответствии с сортаментом на стальные уголки по ГОСТ 8509–93 принимаем уголок № 7 с А = 8,15 см².

3. Находим изменение длины каждого стержня:

а) удлинение стержня ВС

=8,63*10^-4м

б) удлинение стержня ВА

=8,96*10^-4м

4. Определяем перемещение узловой точки В.

Для определения перемещения узла В положим, что стержни в узле В не соединены между собой. Тогда стержень ВС удлинится на величину Δl_ВС,

и стержень В А удлинится на величину Δ l_ВА. Новое положение узла В (точка В ₁) определится как точка пересечения перпендикуляров к стержням ВС и ВА, проведенных из конца стержней ВС +Δ l_ВС и ВА +Δ l_АС..

определим величину перемещения узла В:

Задача № 4 Расчет вала на прочность и жесткость.

Задание: Определить диаметры ступенчатого вала из условия прочности и жесткости на кручение. Определить угол закручивания вала.

Вал изготовлен из стали: [Θ] = 1,75 *10^-2 рад/м, G = 8 *10¹⁰ Па

Схема вала приведена на рис. 4.

 

Исходные данные: а =1,4м; b=0,6м, c=0,6м, М₁ =360Н*м; М₂ = 400Н*м;

М₃ = 400Н*м; М₄ = 500Н*м; [t] = 55 Мпа.

Решение.

1. Определение внутренних крутящих моментов по участкам.

Для определения знака крутящего момента примем следующее правило: если смотреть на отсеченную часть бруса со стороны внешней нормали к сечению, то момент сечении будет положителен в том случае, когда сумма внешних скручивавших моментов поворачивает отсеченную часть бруса по часовой стрелке, и отрицателен при повороте части бруса в противоположном направлении.

Неизвестный момент М₅ в заделке найдем из уравнения равновесия для всего вала. Условно примем направление момента М₅ за отрицательное. Тогда уравнение равновесия принимает вид

-М₁ +М₂ +М₃ -М₄-М₅ = 0

Из решения этого уравнения получим

М₅ =- М₁ +М₂ +М₃ -М₄=-360+400+400-500= -60Н*м.

Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку вала в отдельности (следует заметить, что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построению эпюры продольных сил). Крутящие моменты в сечениях определяются как алгебраические суммы внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения.

Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно

сечения на четырехучастках вала и рассмотрим равновесие соответствующих

оставшихся правых частей.

В сечении 1-1: .

В сечении 2-2: .

В сечении 3-3:

В сечении 4-4:

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов. Отрицательные моменты откладываем вниз по осевой линии (рис. 4). Эпюру моментов строим в масштабе = .

2. По найденным значениям крутящих моментов из расчетов на прочность и жесткость в каждом сечении определим диаметры валов.

Расчет на прочность ведется по допускаемому напряжению при кручении

где –крутящий момент, действующий в сечении бруса;

–полярный момент сопротивления для круглого сечения, –диаметр вала. Из формулы выразим диаметр

По формуле определим диаметры для всех сечений.

Сечение 1-1: 0,0359м, принимаем d₁=0,036м.

Сечение 2-2: 0,021м, принимаем d₂=0,022м.

Сечение 3-3: 0,0303м, принимаем d₁=0,032м.

Сечение 4-4: 0,0177м, принимаем d₄=0,018м.

 

3. Расчет на жесткость ведется по допускаемому относительному углу закручиванию , где –полярный момент сопротивления круглого сечения.

В соответствии с формулой определим диаметр вала из условия жесткости

По формуле определим диаметры для всех участков.

Сечение 1-1: 0,0437м, принимаем d₁=0,045м.

Сечение 2-2: 0,0292м, принимаем d₂=0,03м.

Сечение 3-3: 0,0384м, принимаем d₁=0,04м.

Сечение 4-4: 0,0257м, принимаем d₄=0,026м.

4. В соответствии с расчетами на прочность и жесткость выбираем наибольшее значение диаметров для каждого участка. В результате получим следующие значения:

5. Абсолютные углы закручивания для каждого участка можно определить по формуле , где – длина участка.

Полярные моменты инерции для каждого сечения

Сечение 1-1: м⁴;

Сечение 2-2: м⁴.

Сечение 3-3: м⁴;

Сечение 4-4: м⁴.

Далее определим углы закручивания.

= -0,0218 рад – угол поворота сечения В относительно сечения А (или угол закручивания участка АВ).

= -0,0095 рад – угол поворота сечения С относительно сечения В (или угол закручивания участка ВС).

= 0,009 рад – угол поворота сечения D относительно сечения C (или угол закручивания участка CD).

=- 0,0233 рад – угол поворота сечения Е относительно сечения D (или угол закручивания участка DЕ).

Строим эпюру углов закручивания для всего вала (рис. 4). За начало координат выбран крайний левый конец бруса (сечение D). В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно знать углы поворота только для граничных сечений участков.

В сечении от Е до D полный угол закручивания вала равен

-0,0233 рад;

В сечении от Е до С полный угол закручивания вала равен

-0,0233+0,009=-0,0143 рад;

В сечении от Е до В полный угол закручивания вала равен

- 0,0233+0,009-0,0095=-0,0238 рад;

В сечении от Е до А полный угол закручивания вала равен

- 0,0233+0,009-0,0095-0,0218=-0,0456рад.

Ординаты этой эпюры дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений вала.

Эпюру углов поворота строим в масштабе

= .

Ответ: и полный угол закручивания -0,0456 рад.