Вычисление определенного интеграла

Интеграл с переменным верхним пределом

    Пусть на отрезке  задана непрерывная функция . Выберем на отрезке любое значение   и  рассмотрим интеграл в пределах от  до :   (см. рис. 2).

Рис. 2

Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла, так как определенный интеграл – это число, связанное с пределами интегрирования.

    Обозначим  = .

Определение: Функция  называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция  непрерывна на отрезке  и = , то справедливо равенство:  или .

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Замечание. Таким образом, можно утверждать, что всякая непрерывная на отрезке  функция  имеет на этом отрезке первообразные, одной из которых является функция .

 

Теорема Ньютона-Лейбница

Теорема:   Если функция  – какая- либо первообразная от непрерывной функции , то

                                                            (5)

Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть – первообразная функции . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция  - первообразная функция от . Но так как функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга только на некоторое постоянное число С, то можно записать

.

Это равенство справедливо для любого из рассматриваемого интервала. Положим :

.

Следовательно, , то есть . Тогда можно записать

.

Полагая в этом равенстве , получим:

Заменив переменную t на переменную , получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение двойной подстановки .

    При вычислении определенных интегралов используются те же приемы и методы, которые были изучены при нахождении неопределенных интегралов.

Примеры. Вычислить следующие интегралы:

1.

2.

3.

4.

 

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема: Пусть дан интеграл , где функция  непрерывна на отрезке . Введем новую переменную t по формуле . Если при этом:

1) j (a) = а, j (b) = b (т.е. при изменении  значения функции  не выходят за интервал ),

2) j (t) и j ¢(t) непрерывны на отрезке [ a, b ],

3) сложная функция f (j (t)) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ], то

                                                     (6)

Тогда

Замечание 1. При вычислении определенного интеграла по формуле (6) не надо возвращаться к старой переменной, т.к. уже получено числовое значение интеграла.

Пример.

=

= = .

Замечание 2. При замене переменной в определенном интеграле следует следить за непрерывностью вводимой функции на рассматриваемом отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Например,

,

Применим к этому интегралу тригонометрическую подстановку, получим

     .

Таким образом, два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что введенная функция  имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке  = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

    Если функции  и  непрерывны на отрезке  и имеют на этом отрезке непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

                                                                     (7)

Пример.

= = =

= =

 

Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно нуля

Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной нечетной функции равен нулю, т.е.

.

Доказательство. Пусть  - непрерывная нечетная функция, определенная на отрезке . Вычислим интеграл

В первом из интегралов сделаем замену переменных, положив . Тогда, учитывая нечетность функции , получим

Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по правой (левой) половине отрезка интегрирования, т.е.

.

Доказательство теоремы аналогично предыдущему.

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Рассматривается расширение понятия определенного интеграла по двум направлениям:

1) пределы интегрирования уходят в бесконечность;

2) интегрирование на конечном отрезке функций, имеющих разрыв 2-го рода.