Случайные события. Типы событий. Пространство элементарных событий

       Опытом называется комплекс условий и действий, которые можно повторить неограниченное число раз. Случайным событием называется такое событие, которое связанно с данным опытом и про которое по исходу опыта можно точно сказать произошло оно или нет. Если результат некоторого опыта происходит один из взаимоисключающих друг друга исходов, тогда эти исходы называют элементарными событиями.

       Множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий – ПЭС. ПЭС можно вводить разными способами, которые зависят от классификации.

       События разделяются на следующие типы: достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в данном опыте и невозможное событие – событие, которое никогда не произойдет в данном опыте. Помимо данной классификации события могут быть: несовместными – события не могут произойти в одном опыте и совместными – события могут произойти в одном опыте.

       Событие A благоприятствует событию B, если из того, что произошло событие A автоматически вытекает, что произошло событие B

       Полная группа несовместных событий (ПГНС) – множество событий, которые могут произойти в результате данного опыта, удовлетворяющие условиям

1. Все события попарно несовместные;

2. В сумме все события образуют ПЭС.

Пространство элементарных событий всегда является полной группой несовместных событий.  всегда являются полной группой несовместных событий.

       Рассмотрим опыт, удовлетворяющий двум условиям: число возможных исходов или элементарных событий конечно и равно n и все исходы равновероятны – классическая схема. Пусть случайной событие A, тогда  – число элементарных событий, благоприятствующих A, тогда вероятность события A удовлетворяет соотношению

Поскольку , тогда при  – событие A невозможно или  – событие A достоверное.

 

Элементы комбинаторики

       Пусть даны два множества  из  элементов соответственно. Число способов образовать пару таким образом, чтобы один элемент был из одного множества, а второй из второго, равно . Аналогично для трех элементов из множеств, число способов образовать тройку элементов равно . Если имеется m множеств из  элементов, тогда существует  способов построить набор из m элементов.

       Пусть существует множество из n элементов и n упорядоченных ячеек. Каждое заполнение ячеек – перестановок равно соотношению

       Есть множество из n элементов и m упорядоченных ячеек . Каждое заполнение ячеек – размещение равно соотношению

       Есть множество из n элементов и одна ячейка на m мест без упорядочивания. Каждое заполнение – сочетание равно соотношению

 

Геометрическая вероятность

       Пусть  – некоторая область на прямой, плоскости или в пространстве; A – часть , тогда в опыте бросания точки в  вероятность попадания в A равна соотношению

В данном соотношении мера – длина, площадь или объем. Рассматриваемое соотношение называется геометрической вероятностью.

       У геометрической вероятности справедливы следующие свойства:

1. ;

2. Если A – невозможно, тогда A как множество пусто, тогда ;

3. Если A – достоверное, тогда .

 

Статистическая вероятность

       Пусть известно, что событие A имеет вероятность P. При проведении n опытов и фиксации количества наступления события A, тогда число  называют относительной частотой A в этих n опытов – статистический подход.

       Исходя из теоремы Бернулли  следует, что относительная частота  ведет себя устойчиво, иными словами, она колеблется около P и с увеличением числа опытов n эти колебания затухают. Исходя из этого, если P не известно, тогда берут , при большом n – статистическая вероятность.

       Пусть в серии из n независимых опытов нас интересует событие A в каждом опыте. Если оно произошло в конкретном опыте, тогда этот исход опыта – успешный и пусть p – вероятность успеха, соответственно  – вероятность неудачи. Исходя из всего выше сказанного, следует, что вероятность  того, что в серии из n опытов ровно m успехов равно соотношению

Данное соотношение – схема Бернулли.

       При необходимости найти вероятность , тогда можно воспользоваться суммой несовместных событий

 

Свойства вероятности

       Если A и B – совместные события, тогда  – теорема сложения вероятностей. При условии A и B – несовместные события, тогда справедливо следующее  – следствие теоремы сложения вероятностей при . Если  – попарно несовместные, тогда справедливо следующе соотношение

Если рассматриваемые n событий и в сумме они дают полную группу несовместных событий, тогда сумма их вероятностей равна единице.

       Вероятностью A при условии B  называется вероятностью события A при условии, что событие B точно произошло. Если событие B произошло, тогда пространство элементарных событий сужается до B при этом от A остается часть равная AB, тогда справедливо следующее соотношение, определяющее условную вероятность

       Событие A называется независимым от события B, если , иными словами, наступление или отсутствие события B не влияет на событие A.

       Пусть  попарно несовместные события и в сумме дают все пространство несовместных событий, тогда эти события образуют полную группу несовместных событий, при этом вероятность любого случайного события B можно найти по формуле полной вероятности

Данное соотношение определяется формулой Байеса

 

Случайные величины

       Случайные величины – числовые величины, которые могут принимать в результате опыта то или иное значения, причем заранее не известно какое именно. Если все возможные значения случайной величины можно пронумеровать, тогда ее называют дискретной случайной величиной. Непрерывной случайной величиной называют случайные величины, которые занимают конечный или непрерывный промежуток целиком.

       Любое правило, которое позволяет находить вероятность того, что случайная величина примет заданное значение или попадает в заданный промежуток значений называется законом распределения.

       Пусть X принимает значения  с вероятностями  соответственно, тогда таблица типа значение-вероятность называется рядом распределения дискретной случайной величины. Графическое изображение данного ряда распределения – многоугольник распределения.

       Случайная величина, которая принимает значения  с вероятностями равными , где p – некоторое число из отрезка ; . Данные условия образуют ряд распределения вида , который называется биноминальным распределением.

       Если n в схеме Бернулли большое, тогда вычисления становятся очень громоздкими, поэтому при определении условных вероятностей можно воспользоваться приближенными формулами, такими как формула Пуассона

       Для непрерывной случайной величины невозможно построить ряд распределения и вероятность принять конкретное значение равно нулю. Исходя из этого, целесообразно рассматривать вероятность вида  или .

       Функцией распределения случайной величины X называется функция следующего вида  со свойствами: ,  – не убывает,  и . Для любой непрерывной случайной величины справедливо следующие определения вероятности в случае нахождения значения на отрезке или на луче с известным началом

Сроить функцию распределения можно как для непрерывных случайных величин, так и для дискретных случайных величин В случае дискретного ряда распределения, функция распределения примет ступенчатый вид.

       Если  – функция распределения для непрерывной случайной величины, тогда ее производная  – функция плотности распределения непрерывной случайной величины.

       Свойства функции плотности распределения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Исходя из указанных свойств, следует, что на всем интервале  функция плотности распределения стремится к нулю.