Фізико-технічні застосування визначеного інтеграла

 

Для обчислення різних геометричних величин  (наприклад, площа фігури, довжина дуги кривої і др.) вище застосовували визначений інтеграл Рімана за схемою (схема 1), в якій шукана величина  наближено представлялась у вигляді інтегральної суми, а тому точне значення  було границею інтегральної суми. Цю схему можна використати і для обчислення маси за відомою щільністю , , а також других фізичних величин. При знаходженні наближеного значення  малого елемента  величини  використовують різні припущення, наприклад, малі криволінійні відрізки замінюють хордами, змінну силу (або швидкість) на малих проміжках вважають сталою, припускаючи, що на всьому малому проміжку вказані векторні величини мають той же напрямок і величину, що і на початку цього малого проміжку і т.д.

Приклад 8.1. (Задача про обчислення шляху.) Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою швидкістю , що залежить від часу . Необхідно обчислити шлях, який пройде точка за проміжок часу від  до . Якщо швидкість руху стала і дорівнює , то путь (шлях)  дорівнює добутку швидкості на час руху, тобто

Якщо швидкість не є сталою, то

                                                                                                

Дійсно, розіб’ємо відрізок  на частини  і за схемою І

                                    .

Точне значення  дорівнює границі вказаної інтегральної суми. Припускаючи, що неперервна функція на відрізку , можна розбити відрізок на  рівних частин і знайти границю, коли .

Зрозуміло, що одержимо (8.1).

Зокрема, нехай тіло рухається прямолінійно зі швидкістю . Знайти путь, який пройде тіло за перші п’ять секунд.

За формулою (8.1) маємо

                       .

Приклад 8.2. (Робота змінної сили). Нехай матеріальна точка рухається вздовж осі  під дією сили . Якщо сила  стала і проекція цієї сили на вісь , то добуток називається роботою сили на відрізку путі .

Одержимо формулу для обчислення роботи  сили , коли сила не є сталою. Покажемо, що в цьому випадку

                                                                                              

Дійсно, припускаючи, що  неперервна функція на відрізку , згідно зі схемою І

                                             

і вказана сума є інтегральною сумою функції  на , границя якої, коли  і є (8.2).

Відмітимо, що формулу (8.2) іноді записують у вигляді

                                                ,

де орт осі , а скалярний добуток векторів  і .

Приклад 8.3. Обчислити роботу, необхідну для розтягнення пружини на см, яка знаходиться у стані рівноваги.

Розв'язання. За законом Гука відомо, що сила натягу пружини пропорційна їй, тобто . А тому, щоб розтягнути пружину на см, необхідно затратити роботу, яка дорівнює

                                              .

Приклад 8.4. Вода, що подається з площини основи в конічний бак через отвір у дні, заповнює весь бак. Визначити затрачену при цьому роботу, якщо висота бака дорівнює , радіус нижньої основи (дна) дорівнює , а радіус верхньої основи .

Розв'язання. Розглянемо перетин конічного бака площиною, що проходить через його вісь обертання. Виберемо осі координат у цьому перетині так, як показано на рис. 16.

Розіб’ємо відрізок  осі  точками  на  рівних (за довжиною) відрізків , . Зрозуміло, що об’єм того слою приблизно дорівнює , де рівняння утворюючої конуса (прямої ) у вибраній системі координат. Потенціальна енергія цього слою приблизно дорівнює , де щільність води, прискорення вільного падіння. Тоді зрозуміло, що потенціальна енергія дорівнює роботі

                                            ,

а

                                              .

Таким чином,

 

                 .

Часто використовують і другу схему. Вважають, що деяка частина шуканої величини  є невідомою функцією , де . Знаходять диференціал  функції  як головну частину (лінійну) приросту , коли  змінюється на малу величину , тобто знаходять , функція, що визначається умовами задачі. Тоді величину  знайдемо, інтегруючи  в межах від  до . Ця схема потребує знання первісної для функції  і реалізація формули Ньютона-Лейбніца визначить величину .

Приклад 8.5.  Сосуд, об’ємом 40 літрів, містить  азоту і  кисню. У нього кожну секунду поступає 0.2 л азоту і виходить така ж кількість суміші. Через який час у сосуді буде  азоту?

 

Розв'язання. За незалежну змінну візьмемо час  і позначимо через  кількість азоту (в літрах) в сосуді через  секунд після початку досліду. Тоді азот буде складати частину всієї суміші. За проміжок  в сосуд поступить  л азоту, а вийде  суміші. Якщо вважати  настільки малим, що за проміжок часу  концентрація азоту практично не змінилася, то об’єм суміші буде  л азоту, а тому

                                           .

Звідки

                                              ,

а тому

             (хв.).

Приклад 8.6. Обчислити кінетичну енергію диску масою , радіус якого , і який обертається з кутовою швидкістю  навколо вісі, що проходить через центр диску, перпендикулярно його площині.

 

Розв'язання. Розіб’ємо диск на елементарні кругові кільця (рис.17).

Маса  кругового кільця товщиною , що знаходиться на відстані  від центра диска, дорівнює , де поверхнева щільність, . Лінійна швидкість  обертання кільця дорівнює , . Кінетична енергія  кільця товщиною  обчислюється за формулою

                         ,

а тоді за схемою 2:

                             .

Приклад 8.7. Визначити силу тиску рідини на вертикальну перегородку в каналі, яка має форму півкола радіуса , діаметр якого знаходиться на поверхні води (рис. 18).

Розв'язання. Будемо використовувати закон Паскаля, згідно з яким сила  тиску на площадку з площею  і глибиною занурення  обчислюється за формулою

                                                   ,

де щільність рідини,  прискорення сили тяжіння.

Розглянемо горизонтальну смужку, товщиною , яка знаходиться на глибині занурення  (рис. 15). За схемою 2 її приблизно можна прийняти за прямокутник з основою  та висотою , а тому

                                            .

За законом Паскаля сила тиску  на вказану площадку  обчислюється за формулою

                                        ,

а тому

                  .

За допомогою визначеного інтеграла також обчислюються статичні моменти, моменти інерції, координати центра ваги плоских кривих та фігур.

Нехай  - система матеріальних точок площини  із масами . Тоді величини

            

називаються відповідно статичним моментом та моментом інерції цієї системи точок відносно вісі :  та вісі : .

Якщо на неперервній кривій  рівномірно розподілена маса з лінійною щільністю , то статичними моментами та моментами інерції кривої Г відносно осей координат називаються відповідно величини:

                  ,           (8.3)

                   ,           (8.4)

а координати її центра ваги  обчислюються за формулами:

                                              ,                                      (8.5)

де l – довжина кривої Г.

Припустимо, що криволінійна трапеція  лежить з одного боку вісі  і що матеріал, з якого вона зроблена, однорідний. Тоді статичними моментами та моментами інерції цієї трапеції відносно осей  та  називаються відповідно величини:

                    ,             (8.6)

                         ,                  (8.7)

а координати її центра ваги знаходяться за формулами

                                              ,                                      (8.8)

де S – площа трапеції.

Приклад 8.8 Знайти координати центра ваги однорідної дуги астроїди , розташованої в першому квадранті.

Розв'язання. Ця дуга симетрична відносно бісектриси , а тому . Як відомо, довжина цієї дуги (приклад 4.1 розділу ІІІ)

                                         .

Тоді

Отже, .

Приклад 8.9. Знайти координати центра ваги однорідної фігури розташованої в першому квадранті і обмеженої дугою астроїди  та координатними осями.

Розв'язання. З урахуванням, що фігура має симетрію відносно прямої , маємо , а тому за формулою (8.8) маємо

    ;

Отже .