Проекции ускорения точки на естественные оси.

 

47

Пусть точка движется по криволинейной траектории и в момент времени  она занимает положение и имеет скорость , а в момент - положение  и имеет скорость . Длину элементарной дуги  обозначим .

Представив скорость, как  и учитывая зависимость (26) получаем выражение для ускорения .

Выясним кинематический смысл слагаемых правой части. С первой составляющей все понятно, модуль этого составляющего ускорения равен  и направлен этот вектор по направлению орт вектора , т.е. по касательной. Эта составляющая ускорения называется касательным или тангенциальным ускорением и обозначается

                                                                                 (37)                   

    Рассмотри вторую составляющую, т.е. определяем модуль и направление вектора . , где  - разность векторов  и , построенных в точках  и . Чтобы найти вектор  перенесем вектор,  не изменяя его направления из точки  в точку . Соединив концы векторов  и , достроим  до параллелограмма  (рис. 54). Вектор  представляет собой разность векторов  и , т.е.

.

    Разделив  на промежуток времени  получим новый вектор , направленный по прямой . Выясним направление этого вектора в пределе при . Как было указано в предыдущем параграфе, плоскость параллелограмма  в пределе при  превращается в соприкасающуюся плоскость траектории в точке . Отсюда следует, что вектор  лежит в соприкасающееся плоскости.

    Найдем величину угла между векторами  и , т.е. угол . Треугольник  является равнобедренным, т.к. ,  (рис. 55). Угол при вершине  равен углу смежности . Получаем , а поэтому . Отсюда заключаем, что в пределе при  угол  становится прямым, а следовательно направление вектора  совпадает с положительным направлением главной нормали,   т.е.  с  направлением  орт  вектора , значит

 

 

48

. Определяем модуль этого вектора . Из треугольника  (рис.18) , тогда . Переходим к пределу

. Тогда .

. Окончательно . Тогда . Этот вектор также полностью определен, по модулю он равен  и направлен по главной нормали к центру кривизны, с учетом орт вектора . Эта составляющая ускорения называется нормальным или центростремительным ускорением и обозначается

                                                                                   (38)                   

Оба вектора и лежат в соприкасающейся плоскости, значит и итоговый вектор лежит в этой же плоскости, а проекция этого вектора на бинормаль равна нулю .

                                                                (39)

    Т.о. проекция ускорения на направление скорости равна производной от модуля скорости по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна отношению квадрату скорости к радиусу кривизны траектории в той же точке, где в данный момент находится движущаяся точка.

 

Рассмотрим как определяется ускорение точки для частных случаев движения.

1. Равномерное прямолинейное движение.

, , , ,

2. Неравномерное прямолинейное движение.

, , , , ,

3. Равномерное криволинейное движение.

, , , , ,

Неравномерное криволинейное движение.

49

, , , , , .

Используя связь между координатным и естественным способами задания движения точки, можно вывести зависимости, связывающие проекции ускорения на естественные и декартовые оси. Из зависимости (37)

                (40)

Из зависимости (38), с учетом (32) и (39), получаем выражение для нормального ускорения точки

      (41)

    Из зависимости (38) с учетом (41), получим выражение для радиуса кривизны

                                                                                                (42)

 

Кинематика твердого тела