Математические основы п оказателей надежности

Для решения практических вопросов в области надежности используются показатели, с помощью которых характеризуется количественно уровень надежности горных машин и оборудования.

Эти показатели должны удовлетворять следующим требованиям:

- учитывать различные факторы, влияющие на надежность;

- быть наглядными и иметь физический смысл;

- быть достаточно простыми и удобными для вычислений математических выражений.

Показатели надежности позволяют:

- оценивать надежность машин при проектировании, определять ее экспериментально при испытании и эксплуатации машин;

- оценивать влияние уровня надежности машин на производительность Q;

- намечать пути повышения надежности, применяемого и вновь создаваемого оборудования;

- рассчитывать количество запчастей;

- определять оптимальную периодичность профилактики горных машин.

Показатели надежности различаются в соответствии с компонентами надежности на показатели безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости. По восстанавливаемости изделий они делятся на показатели для восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий.

 

Показатели безотказности

Безотказность – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказа объекта не возникнет.

Показатели безотказности невосстанавливаемых объектов:

- вероятность безотказной работы Р (t ₀) – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет;

- интенсивность отказов l(t)– условная плотность возникновения отказа, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого отказ не возник;

- средняя частота отказоw(t);

- средняя наработка до отказа T ₀ – математическое ожидание наработки до первого отказа;

- наработка на отказ Т – среднее время между соседними отказами для восстанавливаемых изделий.

Математическое определение вероятности безотказной работы от начала эксплуатации до t ₀ (рис.2.1):

- вероятностное

,          (2.1)

где  – случайное время работы (наработки) объекта до отказа (между отказами);

 – функция распределения случайной величины ;

- статистическое

,          (2.2)

где  – количество исправленных объектов в момент времени t ₀;

 – количество исправленных объектов в момент времени t = 0;  – количество отказов объектов за время t ₀.

Рассмотрим это на примере:

;  или ; ;

; ; .

Если отсчет времени работы производится от произвольного момента t, то вероятность безотказной работы в интервале времени от t до t + t ₀ может быть определена на основании теоремы умножения вероятностей.

Действительно,

.                    (2.3)

вероятностный способ определения:

,                        (2.4)

где  – вероятность того, что объект проработает безотказно в течение заданного времени t ₀, начиная с момента времени t, или условная вероятность того, что случайное время работы до отказа окажется больше t + t ₀ при условии, что объект уже проработал безотказно до момента времени t.

Статистический способ определения:

,               (2.5)

где  – количество объектов, исправленных к моменту времени t.

 

Рис.2.1. Определение безотказности: а – вероятностное;  

б – статистическое

Пример. На угольном разрезе при эксплуатации из 10 участковых насосов в течение года отказали 3.Определить вероятность безотказной работы за год.

Таким образом,  – отношение числа объектов, безотказно проработавших до момента времени t ₀, к числу объектов, исправленных в начальный момент времени t = 0, или частость события, состоящего в том, что реализация времени работы объекта до отказа окажется больше заданного времени работы t ₀.

При вероятности отказа в интервале времени от 0 до t ₀:

- вероятностное определение:

,            (2.6)

где Q (t ₀) – вероятность того, что объект откажет в течение заданного времени t ₀, начав работу при t = 0, или того, что случайное время работы объекта до отказа окажется меньше заданного времени t ₀; очевидно, что Q (t ₀) = 1 – Р (t ₀), так как события несовместны;

- статистическое определение

.                                (2.7)

При вероятности отказа в интервале времени от t до t + t ₀:

- вероятностное определение:

- ;     (2.8)

- статистическое определение:

, (2.9)

где D n (t, t ₀) – число общих отказов именно в интервале времени (t, t + t ₀).

Плотность распределения отказов объекта расчитывается:

- вероятностное определение:

,          (2.10)

где    f (t) – плотность вероятности того, что время работы объекта до отказа меньше t, или плотность вероятности отказа к моменту времени t;

- статистическое определение:

.            (2.11)

На практике необходимо, чтобы D t было достаточно мало, а D n (t, t + D t) достаточно велико, т.е. необходимо проводить испытания большого числа объектов;  – частость отказов в интервале времени (t, t + D t), или отношение числа отказов в интервале времени (t, t + D t) к произведению числа исправных объектов в начальный момент времени t = 0 на длительность интервала времени D t.

Для интенсивности отказов :

- вероятностное определение. Из определения интенсивности отказов по теореме умножения вероятностей имеем:

                          (2.12)

или

,       (2.13)

где   f (t) – плотность вероятности отказа объекта к моменту времени t при условии, что до этого момента отказ изделия не произошел;

- статистическое определение:

,         (2.14)

где D n – велико;

D t – мало;

 – отношение числа отказов в интервале времени (t, t + D t) к произведению числа исправленных объектов в момент времени t на длительном интервале времени D t (количество отказов одного объекта в единицу времени при условии, что до этого момента отказ изделия не произошел).

На практике при установлении статистического значения (t) пользуются формулой

                             (2.15)

где   – число отказавших изделий в интервале времени ;

N _ср– среднее число исправно работавших изделий в интервале .

                           (2.16)

где N _i, N _{i +1} – число исправно работающих изделий соответственно в начале и конце интервала .

Пример. При эксплуатации 20 экскаваторов в течение 3 лет произошло 15 отказов электропривода подъема. Определить интенсивность отказов в течение периода эксплуатации.

.

Время  средней наработки до отказа:

- вероятностное определение для непрерывной наработки:

,            (2.17)

где   Т ₀ – математическое ожидание наработки до первого отказа;

- статистическое определение:

,      (2.18)

где  – среднее арифметическое реализации времени работы объекта до отказа.

На практике при расчете Т ₀ по результатам наблюдения статистический показатель _. определяют по формуле

 

,                                    (2.19)

 

где N ₀ – число элементов под наблюдением;

t_i – время безотказной работы i -го элемента.

Пример. При наблюдении за работой 10 экскаваторов было установлено следующее время наработки до отказа: 200; 350; 280; 400; 450; 360; 380; 430; 260 и 150 часов. Определить среднюю наработку на отказ экскаваторов.

 

Если известна одна из функций , то через нее можно определить остальные (табл.2.1).

Таблица 2.1