Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Цилиндрическая и сферическая системы координат.
Наиболее часто используемыми криволинейными координатами являются цилиндрические координаты (φ,ρ,z) (рис.4.1) Рис. 4.1 Рис.4.2 Связь декартовой и цилиндрической систем координат: (4.1)
В отдельных случаях, особенно если пространство “V” ограничено сферой с центром в начале координат или сферой и конусом, с вершиной в начале координат, используется сферическая система координат (φ,θ,r) рис.4.2. Связь сферической и декартовой систем координат: (4.2) Пример: расставить пределы интегрирования по области “V” в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат, если область “V” ограничена поверхностями: Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, необходимо начертить, как минимум, две проекции, одну на вертикальную плоскость XOZ или YOZ и другую на горизонтальную- XOY. Начать всегда рекомендуется с вертикальной проекции, т.к. в задачах, в основном, встречаются тела вращения, проекция которых на горизонтальную плоскость XOY – окружности. Т.к. в данной задаче в уравнении конуса коэффициенты при одинаковые (единицы), то это круговой конус. Коэффициенты у и, соответственно, у тоже одинаковые (единицы), следовательно, образующие конуса расположены под углом Рис. 4.3 Рис. 4.4 Уравнения параболоида , т.е. вершина параболоида находится на оси OZ в точке (0;0;1). Для проекции на плоскость ZOX находим точки касания (или пересечения) образующих конуса и соответствующей параболы. , тогда Т.е. касание происходит при z=2. Тогда радиус круга (проекция на XOY) R=2. Т.к. , то проекцией на XOY будет являться четверть круга находящаяся в IV четверти: . А так как поверхности пересекаются только при z > 0, для параболоида , для конуса z=√x²+ y² Декартовая система координат: В цилиндрической системе (как в полярной на плоскости) (IV четверть) уравнение окружности , т.е. ρ=2. Конус в цилиндрической системе координат . Интеграл по заданной области “V” в цилиндрической системе координат В сферической системе угол тот же, что и в цилиндрической, т.е.
. Угол – угол в проекции на вертикальную плоскость между конусом и параболоидом, т.е. Т.к. в этом диапазоне углов на вертикальной проекции находится только параболоид, то уравнение параболоида в сферической системе координат: , т.к. , то , или Решая это квадратное уравнение относительно r, получим т.к. при функция растет, а функция убывает, то выражение под корнем . Т.к. ,то упростим подкоренное выражение . Тогда и В сферической системе координат интеграл примет вид: Пример: область “V” ограничена поверхностями: . Поверхность – параболоид с вершиной в точке (0;0;-4). Начинаем построение проекции с проекции на вертикальную плоскость ZOX. На плоскость горизонтальную XOY поверхность проектируется кругом (при z=5), радиуса R=3. Область расположена во II квадранте. Декартовая система координат: Цилиндрическая система координат: параболоид в цилиндрической системе:
Рис. 4.5 Рис. 4.6 В принятой сферической системе координат изменение угла , поэтому находим угол , расположенный в правой полуплоскости: т.е. Параболоид в сферической системе координат:
; ; , тогда , т.к. то выбираем . В сферической системе интеграл разбивается на два, т.к. до область ограничена (на проекции ZOX) параболой, а при область ограничена z=5 (в сферической системе , т.е. )
Пример: расставить пределы интегрирования по области “V”, ограниченной поверхностями: ; ; x=0; y=0; z=0 для (внутри цилиндра) – цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси OZ. Проектируется на плоскость XOY окружностью радиуса R=1 – параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;2)
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Декартовая система координат: В цилиндрической системе координат параболоид имеет уравнение . Тогда В сферической системе координат интеграл разбивается на два. Уравнение параболоида примет вид: ; Решаем квадратное уравнение относительно параметра r Тогда Параболоид пересекается с цилиндром при z=1 поэтому в первом интеграле .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 120; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.16.218.105 (0.01 с.) |