Матрицы и операции над ними.

Прямоугольная таблица, составленная из  элементов

 некоторого множества, называется матрицей и записывается в виде

или   

Первый индекс i элемента  обозначает номер строки, а второй j- номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице.

    Перечислим основные операции над матрицами.

1. Сложение и вычитание матриц.

Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц Аи В называется матрица С, элементы которой , где  и  -соответственно элементы матриц А и В.

Пример:

       ,           

,

2. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А и числа L, обозначаемым LA, называется матрица В, элементы которой , где - элементы матрицы А. Размерности матриц А и В равны.

Пример:

, L=-3

 

3. Произведения матриц.

Произведением матриц и  называется матрица

элементы которой               

    Произведение  существует только в том случае, когда первый множитель имеет столько столбцов, сколько второй строк.

 

 

Пример:

Обратные матрицы. Элементарные преобразования.

Квадратная матрица порядка n

 называется невырожденной, если её определитель (детерминант)

В случае, когда det A=0, матрица А называется вырожденной.

Матрица  называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если , где Е-единая матрица порядка n:

Известно, что для невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица , которая определяется формулой

 

Матрица  называется присоединенной, состоит из алгебраических дополнений  элементов  матрицы А, записанных в транспонированном виде (строки замены столбцами с теми же номерами).

 

 

Пример:

Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, найти обратную ей матрицу  и проверить выполняемость равенств .

Решение:

 

матрица А невырожденная.

Далее находим алгебраическое дополнение элементов матрицы А.

Обратная матрица:

 

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1. Поменять местами любые 2 параллельных ряда матрицы;

2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель

3. Прибавить у элементам ряда матрицы соответствующие элементы любого другого параллельного ряда. Ряд-это строка или столбец матрицы.

4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

5. Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;

6. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю;

7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;

8. Определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число d.