Составление модели системы управления в пространстве состояний

 

Из рисунка 2 видно, что в пространстве состояний регулятор можно описать уравнениями:

;                                       (6)

,                                                         (7)

где невязка (величина сигнала рассогласования)  определяется по формуле:

;                                                                  (8)

 - вспомогательная переменная состояния регулятора.

Из формул (2)-(8) видно, что система, образованная регулятором, объектом управления и измерительным устройством, имеет следующую математическую модель в пространстве состояний:

;

;                                                                             

;

.

Эту систему уравнений запишем в матричном виде:

;                                                  (I)

,                                                                                 (II)

где:

; ; ; ; .

Таким образом, получена модель САУ в пространстве состояний в виде системы уравнений (I), (II) и (8).

Определение параметров ПИ-регулятора

Параметры ПИ-регулятора будут определены минимизацией функционала обобщенной работы

по переменной  с учетом ограничений, заданных уравнениями (I), (II), (III) и (8), где  - весовой коэффициент.

Минимизация этого функционала по переменным  и  с учетом ограничений (I), (II) и (8) с помощью принципа максимума приводит к следующим уравнениям для оптимальных траекторий  вектора переменных состояния :

;                      (3.1)

,                          (3.2)

где:

; .

Из сравнения уравнений (I) и (3.1) получим алгоритм вычисления вектора функций , входящих в уравнения формирования управляющего воздействия :

,

или (так как ):

.                               (3.3)

Но из уравнений (6) и (7) видно, что

.          (3.4)

Поэтому из выражений (3.3) и (3.4) получим следующий алгоритм настройки параметров ПИ-регулятора:

.                                                    (3.5)

Результаты вычислений при  приведены на графиках изменения оценок параметров ПИ-регулятора:

Рис.4. График изменения оценок параметра Kn

 

Рис.5. График изменения оценок параметра Ku

 

Из графиков видно, что получены состоятельные оценки параметров ПИ-регулятора. Окончательные значения оценок таковы: ; .

Анализ системы управления по прямым показателям качества управления

Составим дискретную модель системы управления. Системе дифференциальных уравнений (b), (c), (d) соответствуют разностные уравнения:

; (3.1)

;                                                                     (3.2)

;                                          (3.3)

; k =1, 2, …, N.               (3.4)

В цикле по переменной  решить на ЭВМ систему уравнений (3.1)-(3.4), (5) с помощью математического пакета Mathcad.

Построить графики переходных процессов для управляемой переменной , требуемого закона изменения управляемой переменной , относительной погрешности управления  % и управляющего воздействия .

На рис. 6 приведен график изменения относительной погрешности управления.

 

Рис.6. График изменения относительной погрешности управления

 

По графикам переходных процессов определить прямые показатели качества управления.

Вычислить среднее значение погрешности управления:

 

и среднее квадратическое значение погрешности управления за время управления:

.

Составить отчет по результатам выполнения задания.