Специальности: 2201 “Вычислительные машины, комплексы,

                                     системы и сети ” (ЭВМ)

                             2202 “Автоматизированные системы обработки

                                      информации и управления ” (АСУ)

Информационные системы в технике и

                                         технологиях ” (МЭИ)

 

 

ЛЕКЦИЯ 1

Приближенные числа.

 

 

«В численных расчетах всегда есть

                                        бездна ловушек…»      

                               Форсайт, Малькольм, Моулер.                 

 

1. Источники погрешностей результатов вычислений.

а) исходные данные получены из эксперимента, т.е. имеют ограниченную точность;

б) в процессе вычислений иррациональные величины: π, е,  и т.д. могут быть представлены лишь приближенно;

в) часто методы решения задач требуют для получения ответа бесконечного числа шагов (например при интегрировании, когда исходная функция заменяется степенным рядом с бесконечным числом членов). Решение прекращается после выполнения конечного числа операций;

г) ограниченное число разрядов в ЭВМ и т.д.

 

При решении задач на ЭВМ пользуются те или иные вычислительные схемы.

Пример, «ловушки» при численных расчетах [Березин, Жидков, т 1 стр. 39]

Вычислить объем шара, заключенного между цилиндром радиуса R и взаимно перпендикулярными плоскостями. Радиус шара – r.

;

 

Рассмотрим три различных вычислительных схемы:

 

 

Подсчитаем три выражения для двух приблизительных значений

 = 1,4142135624…

1.  = 1,4 = ; ∆₁ = 0,014 /∆₁ / = 0,014

2.  = 1,4166 =   ∆₂ = -0,0024 /∆₂ / = 0,0024

второе значение более точное.

Результаты сведем в таблицу

 

		(3-2 )	99-70
			1

 

Имеем 6 ответов (от -0,1666 до +1), существенно отличающихся друг от друга. Причем вариант -  очевидно абсурден. Сразу не ясно, какой из оставшихся результатов ближе к верному.

 

Один программист сказал: «написать две хороших подпрограммы на порядок легче, чем решить, какая из них лучше»

[Малькольм, Форсайт, Моулер]

 

Необходимость оценивать результаты программ обусловила необходимость анализа погрешностей.

 

2. Абсолютная и относительная погрешности,

       Под ошибкой или погрешностью, ∆а приближенного числа, а понимают разность между точным числом и приближенным

 

∆а = А – а    (иногда: ∆а = а – А)

 

Абсолютная погрешность приближенного числа

 

∆ = ‌‌‌‌‌/∆а/    ∆ = /А-а/ 

 

       Т.к. точное число А обычно неизвестно, то используют верхнюю оценку ∆ – предельную абсолютную погрешность ∆а, т.е. всякое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа.

 

∆ = ‌/А – а/ ≤ ∆а  (1)

 

Т.о.

   а – ∆а ≤ А ≤ а +∆а

 

Или

  А = а ± ∆а

 

       Пример: определить ∆а числа а = 3,14, заменяющего π.

Решение: 3,14 < π < 3,15

             /а – π/ < 0,01                                   т.о. ∆а = 0,01

Если учесть, что

3,14 < π < 3,142, то ∆а = 0,02

 

Нужно выбирать нижнюю грань числа ∆а, удовлетворяющего неравенству (1).

 

       Относительной погрешностью δ приближенного числа а называют отношение абсолютной погрешности ∆ к модулю точного числа А (А ≠0)

 

δ =                   (2)

 

т.е.  ∆ = /А/ • δ

 

       Предельной относительной погрешностью δа называется всякое число, не меньшее относительной погрешности приближенного числа а.

 

δ ≤ δа т.е.  ≤ δа → ∆ = /А/ • δа

 

Сравнивая с (1) получаем: предельная абсолютная погрешность равная предельной относительной погрешности умноженной на модуль точного значения числа.

 

∆а = /А/ • δа             (3)

 

На практике считают (т.к. А ≈ а)

 

∆а = /а/ • δа              (4)

 

границы для точного числа А равны

 

а(1 – δа) и а(1 + δа)

 

т.о. А = а(1 ± δа)

3. Значащая цифра. Число верных знаков.

 

Опр. 1

Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представлением сохраненного десятичного разряда.

                                                                                                                                                           

Примеры:

 

                                                                                незначащие цифры

 

                                                                                                

значащие цифры

 

 

Опр. 2

n первых значащих цифр приближенного числа а является верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо.

                                                                                                                                                       Т.о. для числа

 

а = α_m • 10^m +…+ α_m-n+1 – 10^{m-n +1} +…

 

(ли известно, что ∆ = /А – а/ ≤ 1/2 • 10^{m-n +1})

 

Пример: А = 35,97                    а = 36,00

В а верны три знака, т.к. /А – а/ = 0,03 < 1/2 • 0,1

следовательно, 0 • 10^-1  – верная значащая цифра.

 

 

4. Округление чисел.

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от n-ой значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разряда, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая из отброшенных цифр < 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2) если первая из отброшенных цифр > 5, то к последней оставшейся цифре добавляется 1;

3) если первая из отброшенных цифр = 5 и среди отброшенных цифр есть ненулевые, то последняя оставшееся цифра увеличивается на 1;

4) если все отброшенные цифры (первая = 5) – нулевые, то последняя оставшееся цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

 

 

Рекомендации для практического применения:

 

1. Количество верных знаков числа отсчитывается от 1-ой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.                                    S = 20.7426;  ∆s = 0.0926                                                                                          верные знаки 2, 0, 7.                                                                                                            по определению 2, верные значащие цифры были бы 2,0, т.к. 0,09>

     1/2 • 0,1 = 0,05

2. В окончательных результатах вычислений обычно оставляют, кроме верных, один сомнительный знак. В промежуточных результатах обычно оставляют два-три сомнительных знака, чтобы не накапливать погрешности от округлений.

 

Пример: Длина и ширина комнаты, измеренные с точностью до 1 см., равны

а = 5,43м; в = 3,82м. Оценить погрешность площади.

S = ав = 20,7426 м²

Решение: ∆а = 0,01м; ∆в = 0,01м

Smax = (a + 0.01)(в + 0,01) = 20,8952 м²            /Smax – S/ = 0,0926     

Smin = (a - 0.01)(в - 0,01) = 20,6502 м²              /Smin – S/ = 0,0924

∆S = 0,0926. Можно положить    ∆S = 0,1. Погрешность увеличивают при округлении. 

Приближенное значение S = 20,7 (или даже 21).

 

       5. Сложение и вычитание приближенных чисел.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:

если S = а₁+а₂+…±аn                                 

то ∆S = ∆а₁+∆а₂+…±∆аn

 

За предельную абсолютную погрешность можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей.

Практическое правило для сложения приближенных чисел.

1. выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;

2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных знака;

3. произвести сложение, учитывая все сохраненные знаки;

4. результат округлить на 1 знак

 

Пример: найти сумму приближенных чисел, каждое из которых имеет все верные значащие цифры:

0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354.

Решение:1) выделяем числа наименьшей точности: 345,4; 235,2 (абсолютная погрешность может достигать 0,1).

2) округляем остальные числа до 0,01

получим

345,4	3) округляем результат до 0,1. По правилу четной цифры                      получаем:             S = 602,2
235,2
11,2
9,27
0,35
0,18
0,08
0,02
0,00
602,25

 

Абсолютная погрешность находится в (приближенно) как сумма абсолютных погрешностей исходных данных и погрешности округления

∆S = 0,10 + 0,05 = 0,15                ∆а = 0,2

 

Относительная погрешность δs суммы нескольких чисел одного и того же знака между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых: min δак ≤ δs ≤ δак      (ак > 0, к = 1, 2, 3…, n)

Пример: оценить относительную погрешность суммы, найденной в предыдущем примере, и сравнить ее с относительными погрешностями слагаемых.

Решение: абсолютная погрешность (погрешность суммирования) ∆ равна 0,1. относительная погрешность δ = ∆/А:

Δ = 0,1/602,2 = 0,017 %

Относительные погрешности слагаемых: 0,0005/0,348 = 0,5/348 = 15 %

 

0,5/348 = 15 %; 0,5/1834 = 0,027 %; 0,5/3454 = 0,015 %

05/2352 = 0,022 %; 0,5/1175 = 0,043 %; 0,5/927 = 0,054 %

0,5/849 = 0,059 %; 0,5/214 = 0,24 %; 0,5/354 = 0,015 %

 

min δак = 0,015 %

max δак = 0,24 %

δs = 0,017 %

 

Наибольший вклад в сумму вносят слагаемые 345,4 (δ = 0,015 %) и 235,2 (δ = 0,022 %). δ заключена между этими значениями.

 

Относительная погрешность разности двух положительных чисел больше относительных погрешностей этих чисел, особенно, если эти числа близки между собой.

Это приводит к потере точности при вычитании близких чисел. При приближенных вычислениях полезно преобразовать выражения, связанные с вычислением близких чисел.

Пример: U = ; найти разность с тремя верными знаками.

 = 1,41774469

 

 = 1,41421356

U = 0,00353 = 3,53•10^–3 вычисления нужно вести с 6 знаками после запятой, т.е. 7 верных знаков.

Преобразуем U:

 

 

Заданную точность можно обеспечить, взяв корни лишь с тремя верными знаками.

U =

           

ЛЕКЦИЯ 2