Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод математической индукции
Метод математической индукции является важным способом доказательства математических утверждений. Этот способ используют в тех случаях, когда требуется доказать справедливость какого-либо утверждения относительно любого натурального числа n. Доказательство методом математической индукции состоит из двух этапов: 1) База индукции. Этот этап состоит в проверке справедливости утверждения для . 2) Индукционный переход. Этот этап состоит в выводе из предположения о справедливости утверждения для справедливости утверждения также и для . Предположение о справедливости утверждения для называется индукционным предположением. Замечание. Методом математической индукции можно доказывать также утверждения для чисел n не только из множества натуральных чисел N, но и из любых счетных множеств. Примеры. 1) Докажем тождество , (5.1) используя метод математической индукции. База индукции. Пусть . Тогда утверждение (5.1), очевидно, верно. Индукционный переход. Предположим, что (5.1) верно при : . Докажем, что оно верно также при : . (5.2) Обозначим . Тогда (5.2) можно записать в виде: . (5.3) Будем преобразовывать (5.3):
. Заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии . Тогда , что, очевидно, верно. Утверждение доказано. 2) Докажем методом математической индукции неравенство Бернулли: , для всех . База индукции. Пусть . Тогда неравенство принимает вид: , что, очевидно, верно. Индукционный переход. Предположим, что неравенство верно при : . Докажем, что оно верно при : . Действительно, пользуясь индукционным предположением и условием , получим что и требовалось доказать. 3) Докажем методом математической индукции, что множество, состоящее из n элементов имеет подмножеств. База индукции. Пусть . Рассмотрим множество A, состоящее из одного элемента. Оно содержит ровно два подмножества: пустое множество и само множество A. Индукционный переход. Рассмотрим множество A,состоящее из элементов. Предположим, что содержит подмножеств. Выясним, как изменится количество подмножеств множества A при добавлении к нему нового элемента a. Каждое “новое” подмножество (т. е. содержащее новый элемент a) получается из некоторого “старого” подмножества (не содержащего элемента a). Таким образом соответствие между новыми и старыми подмножествами является взаимно однозначным. Значит с добавлением одного элемента к множеству A, количество его подмножеств удваивается. Следовательно, после добавления одного элемента к множеству количество его подмножеств оказывается равным .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 139; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.165.26 (0.006 с.) |