Закон сохранения механической энергии

Основные формулы и законы

Работа силы на траектории L ₁₂

Мощность силы

Теорема об изменении кинетической энергии

Работа консервативной силы

Теорема об изменении полной механической энергии системы частиц

Закон сохранения механической энергии

Примеры решения задач

Задача 3.3. Вертолет массой m = 3 т висит в воздухе. Определить мощность, развиваемую мотором вертолета, если диаметр ротора равен         d = 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. Плотность воздуха 1,29 кг/м³.

Решение

Пусть v - скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. За время D t частицы воздуха проходят расстояние D h = v D t. Иными словами, за время D t винт вертолета придает скорость v всем частицам воздуха, находящимся в цилиндре с площадью основания p d2/4 и высотой D h. Масса воздуха D m в этом объеме равна

а его кинетическая энергия D К дается выражением

Поскольку мотор передает воздуху кинетическую энергию D К, то такова и совершаемая им работа. Поэтому развиваемая мотором мощность равна

В этом выражении нам надо еще найти скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. Импульс D р, передаваемый частицам воздуха за время D t, равен

Из второго закона Ньютона следует, что средняя сила, действующая на отбрасываемый вниз воздух равна F = D р/ D t. По третьему закону Ньютона такая же сила действует на вертолет со стороны воздуха. Эта сила компенсирует вес вертолета:

Отсюда получаем уравнение

позволяющее найти скорость струи воздуха:

Подставляя найденную скорость в выражение для мощности двигателя вертолета, получаем окончательный результат:

Подставляя числовые данные, находим

 

Задача 3.4. Для измерения скорости полета пули применяют баллистический маятник, состоящий из деревянного бруска, подвешенного на невесомом стержне. При выстреле в горизонтальном направлении пуля массой m попадает в брусок и застревает в нем. Какова была скорость пули, если стержень отклоняется от вертикали на угол a? Масса бруска равна M. Трение в подвесе, сопротивление воздуха и массу стержня не учитывать. Масса бруска много больше массы пули.

Рис. 3.1

Решение

Если масса маятника , то в процессе застревания пули в маятнике он не успевает заметно отклониться от положения равновесия. Систему «пуля + маятник» в этом случае можно считать изолированной, поскольку внешними силами здесь являются: сила тяжести (действует на пулю и на маятник) и сила натяжения нити. Если нить не отклоняется от вертикали, то сумма внешних сил равна нулю. Поэтому для процесса столкновение пули с маятником справедлив закон сохранения импульса. В конце удара пуля и брусок будут двигаться как единое целое.

Запишем для момента столкновения закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

откуда скорость маятника непосредственно после столкновения будет равна

После удара систему «пуля + маятник» можно считать консервативной, поскольку действием сил трения пренебрегаем. Для процесса движения маятника справедлив закон сохранения механической энергии.

Пренебрегая трением в подвесе и сопротивлением воздуха, применим закон сохранения энергии к процессу отклонения маятника после удара:

откуда высота подъема маятника будет

.

Учитывая, что

находим скорость пули: