Тема: Способы вычисления интегралов.

Краткое изложение темы.

Определение: Множество всех первообразных функций f(x) в промежутке х называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается так .

Свойства неопределенного интеграла:

1.  имеем

2.  (подынтегральному выражению).

3.  где k – постоянная.

4.

5.

Основные формулы интегрирования.

Метод замены переменной.

Пусть имеем

и x = φ(t) – непрерывно дифференцированная.

Рассмотрим  - первообразная для f(x)∙φ′(t).

Итак, функция F(φ(t)) – есть первообразная для

Следовательно:

Из (1) и (2) получаем следующее равенство.

 - формула замены переменной в неопределенном интеграле.

На практике замену переменных производят, как правило, t = g(x).

Определенный интеграл

Определение. Приращение F(b) — F(a) любой из первообразных функций F(х) + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом и обозначается .

 - формула Ньютона-Лейбница.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить .

Решение:

Согласно правилу имеем: .

Ответ:

Пример 2. Вычислить .

Решение:

Ответ:

Пример 3. Найти:

Решение:

Ответ:

Пример 4. Найти:

Решение:

Ответ:

Пример 5. Найти .

Решение:

Вынесем множитель  за знак интеграла:

.

Положим

тогда .

Находим новые пределы:

Следовательно

.

Ответ: .

 

Задания для практической работы.

Вариант 1.

Найдите следующие интегралы:

1		5		9
2		6		10
3		7
4		8

 

Практическая работа № 9.

Тема: Решение дифференциальных уравнений.

Задания для подготовки к практической работе.

Вспомнить правила интегрирования функций, свойства логарифмов (Смотрите приложение).

Краткое изложение темы.

Уравнение вида

,

связывающее аргумент , неизвестную функцию  и ее производные, называется дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

где  — неизвестная функция;  — независимая переменная.

Общее решение уравнений имеет вид .

Частным решением называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства

.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

,

где  и  - функции от х.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где  и  - новые функции от х.

Примеры выполнения заданий.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение:

1) Разделим переменные

, тогда

2) Интегрируем обе части полученного уравнения:

;

.

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С написали .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Ответ: .

 

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям  при .

Решение:

1) Разделим переменные

2) Интегрируем обе части полученного уравнения:

 - это общее решение данного уравнения.

3) Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения  и  в выражение для общего решения:

,

,

.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Ответ: .

 

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение:

Это линейное уравнение: здесь , .

Положим  и продифференцируем это равенство по х:

.

Подставив теперь выражения для  и  в данное уравнение, получим

,

или

.   (*)

Так как одну из вспомогательных функций  или  можно выбрать произвольно, то в качестве  возьмем одно из частных решений уравнения .

Разделим в этом уравнении переменные:

Интегрируем обе части уравнения:

,

,

(произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений)

,

.

Подставим теперь выражение для  в уравнение (*); тогда получим уравнение

.

Разделим переменные

Интегрируем обе части уравнения

Отсюда находим

Зная  и , теперь получаем общее решение данного уравнения:

.

Ответ: .

 

Пример 4. Найти частное решение уравнения , если  при .

Решение:

Разделив все члены данного уравнения на , получим уравнение

, которое является линейным.

Положим ; тогда .

Подставив теперь выражения для  и  в данное уравнение, получим

,

.         (*)

Для отыскания  получаем уравнение

,

Разделим переменные:

Интегрируем обе части уравнения:

,

,

.

Подставляя выражение для  в уравнение (*), имеем

,

Разделяем переменные

,

,

Интегрируем обе части уравнения

,

.

Общее решение данного уравнения:

.

Используя начальные условия , , имеем , откуда .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

Ответ: .

Задания для практической работы.

Вариант 1.

1. Найдите общее решение уравнения .

2. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям  при .

3. Найдите общее решение уравнения .

4. Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям  при .

Практическая работа № 10.