Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальное исчисление функции одной переменнойСтр 1 из 2Следующая ⇒
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Определение производной. Пусть функция определена в окрестности точки . Дадим аргументу некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Тогда при значении аргумента будем иметь . Найдем приращение функции: . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции в точке и обозначают . Таким образом, по определению (*) или Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, операция вычисления производной функции называется дифференцированием. Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной: 1. ; , т.е. . 2. ; 3. ; Геометрический смысл производной Проведем секущую к графику функции . Если , то и т.е. секущая S будет стремиться к положению касательной K. Так как , то , т.е. производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке .
то угловые коэффициенты этих прямых находятся в отношении или , тогда уравнение нормали запишется так: N: .
Механический смысл производной
Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t – мгновенная скорость: . Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Теорема 1. Функция , имеющая производную в точке , непрерывна в этой точке. Доказательство: Так как , то по теореме о связи между функцией и ее пределом имеем , где при . Но если , то и , т.е. , а это значит, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции – определение непрерывности функции в терминах приращений.
Рис.2
Решение: – в точке не существует, т.к. левый предел не равен правому пределу и график в этой точке не имеет касательной. Правила дифференцирования Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в точке x, то в этой точке дифференцируемы функции , , , при этом: 1. ; 2. ; 3. . Следствие. Если функция дифференцируема в точке x, а С – const, то . Найти производные функций и , пользуясь теоремой 2. 1. ; Итак, . 2. . Итак, .
Таблица производных
На практике часто приходится находить производные сложных функций, поэтому заменим в таблице аргумент x на промежуточный аргумент , который является функцией от x: 1. , С – const; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. 10. 11. ; 12. .
Производные высших порядков Вторая производная
Пусть функция имеет производную во всех точках интервала . Если функция дифференцируема в точке , то её производную называют второй производной или производной второго порядка функции в точке и обозначают , , , , , . Таким образом, по определению . Пример. Найти . 1. . Пусть , где , тогда , отсюда . 2. . Пусть , где , тогда , отсюда . Дифференциал функции Пусть функция дифференцируема в точке x, т.е. . Тогда, по теореме о связи между функцией и её пределом, можно записать , где при , или . Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , которые являются бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , т.к. , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем : . Произведение , представляющее главную часть приращения функции, линейную относительно , называют дифференциалом функции и обозначают или : . (*) Найдем дифференциал функции ; в этом случае , и, следовательно, или . Таким образом, дифференциал независимой переменной x совпадает с её приращением . В этом случае формулу (*) можно записать так: . (**)
Из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной Определение производной. Пусть функция определена в окрестности точки . Дадим аргументу некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Тогда при значении аргумента будем иметь . Найдем приращение функции: . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции в точке и обозначают . Таким образом, по определению (*) или Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, операция вычисления производной функции называется дифференцированием. Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной: 1. ; , т.е. . 2. ; 3. ;
|
|||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 43; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.53.223 (0.027 с.) |