Интегрирование иррациональных функций

Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции:

· Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной.

Примеры:

a)

b)

с)

 

Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 5.

 

Таблица 5.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
1.
2.
3.
4.			,
5.	, где

· Ко второму типу относят интегралы вида , где P_n (x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится с помощью тождества, называемое методом неопределённых коэффициентов:

= ,

где Q_{n -1} (x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент.

Примеры:

а)

Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

.

Продифференцируем полученное выражение:

Умножим на  и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

=

=

Итого =

=

 

b)  

Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:

Дифференцируем полученное выражение:

 Перегруппировываем:

· К третьему типу относят интегралы вида .

Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , .

Примеры:

a)

b)

с)

Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 6.

№	подынтегральное выражение	замена	dt
1		или	или
2		или	или
3		или	или

Таблица 6.

         

· Четвёртый тип , где m, n, и p – рациональные числа, называют интегралами от дифференциального бинома.

Академиком Чебышевым П.Л.[1] было доказано, что интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:                                 Таблица 7.

№	случаи	замена
1	р – целое число	или , где l-общий знаменатель m и n.
2	– целое число	подстановкой , где s – знаменатель числа р.
3	- целое число	, где s – знаменатель числа р.

Примеры:

a)

b)

Примеры интегралов, не выражающихся через

Элементарные функции

1. Интеграл вида :

a) Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных

корней, такой многочлен называется эллиптическим:

·   – эллиптический интеграл 1 рода;

·  – эллиптический интеграл 2 рода;

·   – эллиптический интеграл 3 рода.

(0 < k < 1, h – комплексное число)

b) Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

c) Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.

2.  - интеграл Пуассона[2].

3.  - интегралы Френеля[3].

4.  - интегральный логарифм.

5.  - интегральная показательная функция.

6.  - интегральный синус.

Задания для самопроверки №1

Вычислить:

1.                                             Ответ:

2.                          Ответ:

3.                                                Ответ:

4.                                              Ответ:

5.                                          Ответ:

6.                                    Ответ:

7.                                  Ответ:

8.                                          Ответ:  

9.                                       Ответ:

10.                                             Ответ:

11.                                           Ответ:

12.                                    Ответ:

13.                                           Ответ:

14.                                    Ответ:

15.             Ответ:

16.                      Ответ:

17.                                    Ответ:

18.                                        Ответ:

19.                            Ответ:

20.                                           Ответ:

21.                           Ответ:

22.                                          Ответ:

23.                              Ответ:

24.                               Ответ:

25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:

а) ;

b) ;

c) .

 

§2.   Определенный интеграл

Основные понятия и методы решения

 определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f (x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке  длины  выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b].

Определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю

максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек , на отрезках .

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у= b.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл  существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема ( Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция  имеет первообразную, равную интегралу , и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство .

Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f (x), то   – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [4].

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] a < b, то .

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: .

6. Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .

7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8. .

9.