Исследование функций с помощью производных первого и второго порядков, построение их графиков

Приведем ряд теорем, позволяющих находить участки монотонности (возрастания, убывания) функции, экстремумы функции, участки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Вначале сформулируем достаточный признак монотон- ности:

1) если f (x) > 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале возрастает;

2) если f (x) < 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале убывает;

3) если f (x) = 0 на некотором интервале, то f (x) на этом интервале постоянна.

Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8

tg = y (x = x 1) < 0; tg = y (x = x 2) > 0; y (x = x 3) = 0

Важную роль в исследовании функций играют точки, от- деляющие интервалы ее возрастания от интервалов ее убы- вания. Эти точки носят название экстремумов функции или ее локальных максимумов и минимумов. Слово “локальный” оз- начает, что точка будет максимальной (минимальной) лишь на каком-то интервале.

Теперь приведем определение:

1) точка M (x 1, y 1) есть точка локального максимума фун- кции y = f (x), если f (x 1) — наибольшее значение функции y = f (x) в некоторой окрестности точки M (x 1, y 1);

2) точка N (x 2, y 2) есть точка локального минимума функции y = f (x), если f (x 2) — наименьшее значение функции y = f (x) в некоторой окрестности точки N (x 2, y 2).

Функция на своей области определения может иметь не-

сколько экстремумов. Наибольшее и наименьшее значения функции ее области определения обычно называют абсолют- ным максимумом и абсолютным минимумом.

Понятие экстремума функции иллюстрируется рис. 4.9. Теперь сформулируем необходимый признак экстремума:

Если в точке (т. А, т. В, т. С, т. D на рис. 4.9) функция y = f (x) дости- гает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю (т. А, т. В, т. D на рис. 4.9), либо не существует (т. С на рис. 4.9).

Рис. 4.9

Приведенный признак не является достаточным, т. е. из того факта, что производная в данной точке равна нулю или не сущес- твует, еще не следует, что эта точка есть экстремум функции.

Недостаточность данного признака проиллюстрируем примером.

Пример 4.27. Рассмотрим функцию y = x ³ и найдем ее экс- тремум, используя приведенный признак (найдем производ- ную данной функции, приравняем ее к нулю и найдем коорди- наты экстремума, если он существует).

y   = 3 x ²;                        — экстремум данной функции в

соответствии с необходимым признаком.

Но из графика функции y = x ³ (рис. 4.10) следует, что экстре- мума в точке с координатами х = 0, у = 0 у данной функции нет.

Рис. 4.10

Сформулируем теперь достаточный признак экстремума: точка (т. А, т. В, т. С, т. D на рис. 4.9) есть точка экстремума фун- кции y = f (x), если производная этой функции y = f (x) при переходе х через критическую точку (точку, где производная равна нулю или не существует) меняет знак. Если знак меняет- ся с плюса на минус (т. А, т. С на рис. 4.9), то имеем локальный максимум, а если знак меняется с минуса на плюс (т. В, т. D на рис 4.9), то имеем локальный минимум.

Заметим, что функция y = f (x) должна быть непрерывна на интервале, содержащем критическую точку.

Пример 4.28. Производная функции

меняет знак при переходе через точку х = 0, но экстремума в ней не имеет, так как в этой точке она разрывна [9].

Вернемся к примеру 4.27 и проверим, удовлетворяется ли там достаточный признак экстремума (рис. 4.11).

 

Рис. 4.11

Из рисунка видно, что производная функции y = x ³ не меня- ет знака при переходе х через точку х = 0, поэтому данная фун- кция не имеет экстремума в точке с координатами х = 0, у = 0.

Пример 4.29. Рассмотрим функцию

y = 3 x ³ + 6 x ² - x + 2.

y = 9 x ² + 12 x - 1 9 x ² + 12 x - 1 = 0

2

1

x 0,06; x -1,4

y = 9(x - 0,06)(x + 1,4)

Применяя достаточный признак экстремума, находим, что в точке х = -1,4 — максимум, а в точке х = 0,06 — минимум (рис. 4.12).

 

Рис. 4.12

Точки экстремума можно находить и с помощью второй производной. Для этого сформулируем второй достаточный при- знак экстремума: некоторая точка с координатами x 0, y 0 будет точкой экстремума функции y = f (x), если f (x 0) = 0, а f (x 0) 0, при этом, если f (x 0) > 0, то данная точка будет точкой минимума функции y = f (x), а если f (x 0) < 0 — точкой максимума; в том случае если f (x 0) = 0 данный признак не применим.

Используем приведенный признак для нахождения экс-

тремумов функции y = 3 x ³ + 6 x ² − x + 2 из примера 4.29.

y = 18 x + 12.

y (x = 0,06) = 18 · 0,06 + 12 13,1.

y (x = -1,4) = 18 · (-1,4) + 12 -13,2.

Следовательно, в точке х = 0,06 исходная функция будет иметь минимум, а в точке х = -1,4 — максимум.

Теперь покажем, как применять вторую производную для нахождения участков выпуклости и вогнутости функции и ее точек перегиба.

Сначала приведем соответствующие определения.

График дифференцируемой функции y = f (x) называется вогнутым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он располо- жен выше касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.13).

Рис. 4.13

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вверх (в положительном направлении оси ординат) на некотором интервале, если на этом интервале он располо- жен ниже касательной, проведенной к любой точке графика в этом интервале (рис. 4.14).

Точки, отделяющие участки выпуклости функции от учас- тков ее вогнутости (и наоборот), называются точками перегиба.

Теперь сформулируем теорему.

Теорема 4.6. Если вторая производная функции y = f (x) всюду на некотором интервале меньше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — выпуклая; если вторая производ-

 

Рис. 4.14.

ная функции y = f (x) всюду на некотором интервале больше нуля, то функция y = f (x) на этом интервале — вогнутая.

Приведем также необходимый признак существования точ- ки перегиба: если точка с координатами x 0, y 0 является точкой перегиба функции y = f (x), то вторая производная данной фун- кции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Недостаточность данного признака мы проиллюстрируем примером.

Пример 4.30. Рассмотрим функцию y = x ⁴. Воспользовав- шись приведенным выше признаком, проверим, есть ли у этой функции точки перегиба.

y = 4 x ³; y = 12 x ²

 

 

 

Рис. 4.15

должна быть точкой перегиба по необходи- мому признаку, но если взгля- нуть на график этой функции (рис. 4.15) видно, что в данной точке перегиба нет.

Поэтому сформулируем достаточный признак сущест- вования точки перегиба: точка  с координатами x 0, y 0 являет- ся точкой перегиба функции y = f (x), если f (x), меняет знак

при переходе х через x 0; если знак меняется с минуса на плюс, то слева от данной точки лежит участок выпуклости, а спра- ва — участок вогнутости, а если знак меняется с плюса на ми- нус, то наоборот.

Применим данный признак к функции из примера 4.30.

Из рис. 4.16 видно, что достаточный признак не выполняет- ся, поэтому в точке с координатами х = 0, у = 0 перегиба нет.

 

 

                                

Рис. 4.16

Теперь применим достаточный признак существования точки перегиба к функции из примера 4.29.

В данном случае (рис. 4.17) достаточный признак свиде-

тельствует о том, что точка с абсциссой      является точкой перегиба функции y = 3 x ³ + 6 x ² - x + 2.

 

 

 

Рис. 4.17

y = 18 x + 12; 18 x + 12 = 0;

Теперь приведем схему, по которой удобно проводить ис- следование функций [9]:

1. Нахождение области определения функции, точек ее раз- рыва, интервалов ее непрерывности и вертикальных асимптот.

2. Проверка функции на четность, нечетность, периодич- ность.

3. Нахождение точек пересечения графика функции с ося- ми координат (если это не требует больших вычислительных затрат).

4. Нахождение интервалов монотонности и точек экстре- мума функции.

5. Нахождение участков выпуклости, вогнутости функции и точек ее перегиба.

6. Нахождение наклонных асимптот.

7. Построение графика функции по результатам прове- денного исследования.

Пример 4.31.

Теперь в соответствии с приведенной схемой исследуем функцию .

Данная функция определена на всей оси 0 х за исключени- ем точки х = 2, т. е. x (-; 2) (2; +). Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой данной функции, так как

Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периоди- ческой, так как f (- x)   f (x), f (- x)  - f (x), f (x + T)   f (x), где Т — период, а график данной функции проходит через начало координат.

Теперь найдем первую производную исходной функции и найдем участки монотонности и экстремумы.

x ² - 4 x = 0; x (x - 4) = 0; x = 0; x = 4.

Точку х = 2, где не существует первой производной исход- ной функции, на экстремум можно не проверять, так как в этой точке сама функция имеет бесконечный разрыв.

Следовательно (рис. 4.18), в соответствии с достаточным признаком экстремума данная функция имеет максимум в точ- ке с координатами х = 0, у = 0 и минимум в точке с координата- ми х = 4, у = 8.

                                                                                                   

 

 

                 

 

Рис. 4.18

Теперь найдем вторую производную и определим участки вогнутости, выпуклости и точки перегиба, используя теоре- му 4.6 и достаточный признак существования точки перегиба

 

 

Таким образом, вторая производная нигде не обращается в ноль, следовательно, данная функция не имеет точек переги- ба. Надо только проверить, меняет ли вторая производная ис- ходной функции знак при переходе х через точку бесконечного разрыва х = 2 (второй производной заданной функции также не существует в точке х = +2).

Поэтому (рис. 4.19) слева от точки х = 2 исходная функция будет выпуклой, а справа от точки х = 2 — вогнутой.

 

                      

Рис. 4.19

Теперь проверим, имеет ли исходная функция наклонные асимптоты, для этого воспользуемся формулами (4.12) и (4.13) (так как заданная функция является дробно-рациональной, можно рассматривать произвольное стремление х к бесконеч- ности).

Поэтому прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой исходной функции.

Теперь по результатам проведенного исследования пост- роим график заданной функции (рис. 4.20).

Рис. 4.20