Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.

Произвольное частное решение дискретной задачи ищется в виде                                   Подстановка такой сеточной функции в разностное уравнение позволяет определить, при каких   данная сеточная функция удовлетворяет разностному уравнению.

 для действительных  - решение устойчивое.

: - частное решение неограниченно возрастает при - неустойчивое.

Спектральный метод (метод гармоник) позволяет получить необходимые условие устойчивости дискретных моделей. Выяснение вопроса о достаточности полученных условий устойчивости анализируемой схемы требует доказательства полноты системы линейно независимых решений, используемых в качестве пробных сеточных функций при спектральном анализе устойчивости. Естественными краевыми условиями для спектрального метода являются периодические либо однородные граничные условия.

В этом случае пространственные гармоники, используемые в качестве пробных функций, совпадают с собственными функциями дифференциальных и разностных операторов с постоянными коэффициентами.

Собственные функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям, образуют ортогональный базис в соответствующем пространстве сеточных функций. В силу этого полученные в рамках спектрального подхода необходимые условия устойчивости являются одновременно и достаточными.

 

Если разностная задача имеет краевые условия, отличные от однородных либо периодических, то спектральный метод оставляет открытым вопрос об устойчивости данной разностной задачи относительно возмущений таких краевых условий. Этот недостаток спектрального метода вряд ли можно признать существенным, поскольку возмущения краевых условий дискретной модели, как правило, не имеют катастрофических последствий на поведении приближенного решения, если таковые отсутствуют в исходной дифференциальной задаче.

 

Пример 1. Исследовать устойчивость по начальным данным явной схемы:

,

Будем искать частное решение разностной задачи в виде . Подстановка данного решения в разностную схему при  дает следующее равенство

,

откуда .

 при условии , что является необходимым условием устойчивости рассматриваемой явной схемы. К такому же результату приводит спектральный анализ устойчивости данной схемы с использованием в качестве пробных функций соответствующие собственные функции разностного оператора второй производной с нулевыми краевыми условиями. Относительно набора данных собственных функций нами была установлена их ортогональность и полнота. Таким образом, спектральный критерий устойчивости явной разностной схемы в случае задачи Дирихле с нулевыми краевыми условиями дает необходимые и достаточные условия устойчивости рассмотренной схемы.