Электрические цепи синусоидального тока.

Общие сведения. Впервые генератор и трансформатор синусоидального тока создал П. Н. Яблочков для питания изобретённой им электрической «свечи» (1876 г.). Следующий, решающий шаг в использовании синусоидальных токов сделал выдающийся русский учёный М. О. Доливо-Добровольский, который разработал все основные элементы системы трёхфазного синусоидального тока: генератор, трансформатор, линию передачи, двигатель и продемонстрировал эту систему на Всемирной выставке в Париже в 1891 г

Простейшим генератором синусоидальной ЭДС является проводник в виде прямоугольной рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью в постоянном однородном магнитном поле.

e

График изменения ЭДС е   при вращении рамки показан на рис. 2.1.

 

Em

                                                                                                  

360

 

270

180

0

 

               

 

Рис. 2.1 График изменения ЭДС.

Основные величины характеризующие синусоидальные функции времени. В линейных цепях синусоидального тока и напряжение и ЭДС, и ток являются синусоидальными функциями времени:

здесь u, e, I – cоответственно мгновенные значения напряжения, ЭДС, тока, т. е. значения этих величин в рассматриваемый момент времени; 

 аргументы синусоидальных функций, называемые фазой или фазовым углом. Фаза отсчитывается от точки перехода синусоидальной функции через нуль к положительному значению.

Каждая синусоидальная функция времени однозначно определяется тремя параметрами:

амплитудой U_m, E_m, I_m (максимальное значение синусоидальной функции);

угловой частотой (скорость изменения аргумента синусоидальной функции), где  в рад/с;

начальной фазой (значение аргумента синусоидальной функции в момент начала отсчета времени, т. е. при t = 0) в радианах или градусах.

Кроме того, для характеристики синусоидальных функций времени используют следующие величины:

1) период ньший интервал времени, по истечению которого мгновенные значения периодической величины повторяются;

2 ) частота , т. е. число периодов в секунду. Единица частоты – герц (Гц) (1 Гц = 1

3) сдвиг фаз между напряжением и током  алгебраическая величина, определяемая как разность начальных фаз, напряжения и тока: Cдвиг фаз между одноимённые токами, напряжениями, ЭДС принято обозначать ;

4 ) действующее значение U, E, I – cреднеквадратичное значение переменной величины за период. Наименование «действующее» объясняется тем, что тепловой и силовой эффекты синусоидального тока за период равны эффекту постоянного тока, значение которого равно действующему значению синусоидального тока за тот же период T в сопротивлении R та же электрическая энергия преобразуется тепловую, что и при равном его действующему значению постоянном токе за то же время:

В соответствии с определением действующее, т. е. среднеквадратичное, значение синусоидального тока

 

Аналогично определяется действующие значение напряжения и ЭДС:

 

Представление синусоидальных функций в различных формах записи. В электротехнике синусоидальные величины изображают неподвижными векторами для момента времени   t = 0. Модуль вектора соответствует действующему значению. Углы наклона к оси абсцисс равны начальным фазам.

y

Угол между векторами напряжения и тока равен

x

углу сдвига фаз . Если то

напряжение опережает по фазе ток. В противном 

случае напряжение отстаёт по фазе от тока. 

Угол всегда откладывается от вектора тока

к вектору напряжения

Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображённых в общей системе координат, называют векторной диаграммой.

+

Представление синусоидальных функций при помощи комплексных чисел.                                              

На комплексной плоскости с осям   

+1

координат +1 – ось действительных чисел

   и величин и величин + ось мнимых 

    чисел и величин. Отложим вектор дли-

    ной I под углом  к действительной оси.

Его проекцию на ось действительных чи-

сел обозначим  на ось мнимых чисел   Любая точка на комплексной плоскости или вектор, проведённый из начала координат в эту точку, изображается комплексным числом

где a координата точки по оси действительных чисел; b по оси мнимых чисел. Поэтому вектор тока  может быть записан в комплексном форме   Такая запись комплексных величин называется алгебраической формой.

Из рисунка следует, что . Поэтому вектор тока может быть написан и в так называемой тригонометрической форме: 

Принимая во внимание формулу Эйлера: тот же вектор запишем ещё в показательной форме: где модуль вектора I  и начальная фаза  представляют собой полярные координаты вектора.

Выражение  называют оператором поворота, так как умножение на какого-либо вектора  равносильно повороту этого вектора на комплексной плоскости на угол . Угол  показывает поворот вектора относительно оси действительных величин.

Таким образом, вектор  может быть выражен тремя различными комплексными формами записи:

Переход от алгебраической формы записи к показательной и тригонометрической выполняется по формулам, которые следуют из рисунка:

Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока. Первый законы Кирхгофа для мгновенных значений:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю

где n – число ветвей, соединённых в узел. 

Токи входящие в узел записываются со знаком плюс, токи выходящие из узла со знаком минус.

Рис. 2.2 I закон Кирхгофа.  Рис.2.3 II закон Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма напряжений на резистивных, индуктивных и емкостных элементов контура в данный момент времени равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени:

где k  порядковый номер напряжения; р порядковый номер ЭДС; n  суммарное число резистивных, индуктивных и емкостных элементов в контуре; m число ЭДС в контуре. Если положительное направление напряжения и ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то это напряжение или ЭДС записывается  со знаком плюс, если не совпадает, то со знаком минус.

 

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

алгебраическая сумма комплексных напряжений в контуре равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре:

Для узла, изображённого на рис. 2.2, по первому закону Кирхгофа в комплексной форме:

 

Для контура, показанного на рис. 2.3, по второму закону Кирхгофа в комплексной форме:

+

Цепь синусоидального тока с резистивным элементом. Если к резистивному элементу приложено синусоидальное напряжение
то по закону Ома для мгновенных значений

Из этого выражения следует, что ток изменяется также по синусоидальному закону  где амплитуда тока.

Для действующих значений:

Рис. 2.4 Резистивный элемент.

Начальная фаза тока откуда следует, что сдвиг фаз 

т. е. на участке с резистивным элементом напряжение и ток совпадают по фазе.

График мгновенных значений и векторная изображены на рис. 2.4.

Заменим мгновенные значения u и i комплексными выражениями в показательной форме:

Разделив   получим:

=

Отсюда следует закон Ома в комплексной форме для участка цепи с активным сопротивлением

 

Цепь синусоидального тока с индуктивным элементом.   Если к индуктивному элементу приложено синусоидальное напряжение
 , то для определения тока и получаем:

Рис. 2.5 Индуктивный элемент.

Синусоидальный ток в индуктивном элементе

Амплитуда тока а действующее значение

 индуктивное сопротивление.

Начальная фаза тока отсюда следует, что угол сдвига фаз между напряжением и током

т. е. ток по фазе отстаёт от напряжения на 90

График мгновенных значений и векторная диаграмма напряжения и токов изображены на рис. 2.5, б и в.

Заменим мгновенные значения напряжения и тока их комплексными выражениями в показательной форме и разделим напряжение на ток:

Так как то для участка цепи с индуктивностью получим закон Ома в комплексной форме:

где сопротивление в комплексной форме.

 

Цепь синусоидального тока с емкостным элементом. Если к емкостному элементу приложено синусоидальное напряжение
то ток зарядки-разрядки ёмкости:

Таким образом, ток на участке цепи с емкостным элементом при синусоидальном напряжении также синусоидальный  

Рис. 2.6 Емкостной элемент.

 

Амплитуда тока а его действующее значение

называют емкостным сопротивлением.

Начальная фаза тока , откуда следует, что угол сдвига фаз между напряжением и током:

График мгновенных значений и векторная диаграмма напряжении и тока изображены на рис. 2.6, б и в.

Заменим мгновенные значения напряжения и тока их комплексными выражениями в показательной форме:

 

Так как то получаем закон Ома в комплексной форме:

 

Цепь синусоидального тока при последовательном соединении  элементов. Закон Ома для участка цепи с последовательным соединением элементов R, L, C.

Рис.2. 7 Последовательное соединение

Если к участку с последовательным соединением элементов R, L, C приложено синусоидальное напряжение то ток в цепи синусоидальный: По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений

Заменив мгновенные значения их комплексными выражениями, получим:

Ранее было получено:

Поэтому

Закон Ома в комплексной форме:

Комплексное и полное сопротивление цепи синусоидального тока.

комплексное сопротивление, а  реактивное сопротивление.

Комплексное сопротивление в показательной форме:

где

— модуль комплексного сопротивления;

— аргумент комплексного сопротивления

 

График мгновенных значений и векторная диаграмма.

Рис. 2.8 Графики мгновенных значений

На рис. 2.8, а представлен график мгновенных значений напряжения и тока для активно-индуктивной нагрузки (, а на рис. 2.8, б активно-емкостной нагрузки (  

Векторная диаграмма является графическим отображением второго закона Кирхгофа:

Вектор напряжения на активном сопротивлении U _R cовпадает по направлению с вектором тока I, вектор напряжения на индуктивности U _L  опережает по фазе вектор тока на угол 90   и на ёмкости U _C отстаёт на угол 90 . Вектор общего напряжения U получим суммированием векторов напряжения на участках схемы.

 ;

Общий случай последовательного соединения элементов с комплексными сопротивлениями. При последовательном соединении элементов общее напряжение в комплексной форме:

=

= (

Рис. 2.9 Общий случай последовательного соединения.

Однотипные сопротивления:

Обозначив:

;

 

Параллельное соединение элементов R, L, C.

Рис. 2.10

Параллельное соединение элементов R, L, C.

Согласно закону Ома комплексные токи:

где  активная проводимость;  индуктивная проводимость;
емкостная проводимость.

Ток в неразветвлённой части цепи согласно первого закона Кирхгофа

+

 комплексная электрическая проводимость.

где электрическая проводимость цепи.

 

Проводимость цепи синусоидального тока. Под комплексной проводимостью понимают отношение комплексного действующего значения тока к комплексному действующему значению напряжения:

Так как то 

Действительную часть комплексной проводимости обозначают

и называют активной проводимостью.  

Мнимую часть комплексной проводимости обозначают

и называют реактивной проводимостью. Реактивное сопротивление

где 

  индуктивная проводимость;

емкостная проводимость.

=  

в показательной форме

 модуль или полная проводимость;

аргумент проводимости.

В показательной форме проводимость получим:

 

Параллельное соединение ветвей. По первому закону Кирхгофа следует:

где  токи в параллельных ветвях;  общий ток. По закону Ома:

подставим в первый закон Кирхгофа

откуда следует, что  и

Учитывая, что выражение для комплексной проводимости:  

проводимость в алгебраической форме:

B =

проводимость в показательной форме: где

 полная проводимость;

 аргумент полной проводимости.

 

 Векторная диаграмма при параллельном соединении  строится в соответствии с первым законом Кирхгофа. За опорный вектор принят вектор  с начальной фазой равной нулю. Так как сопротивление первой ветви активно-индуктивное, то ток  отстаёт по фазе от напряжения на угол Так как сопротивление второй ветви активно-емкостное, то ток  опережает по фазе напряжение  на угол |  Вектор тока

Разложим векторы токов на проекции на действительную и мнимую ось:  – активная составляющая; реактивная составляющая. Из векторной диаграммы следует, что:

.

Из векторной диаграммы также следует, что

Смешанное соединение элементов. Для цепей синусоидального тока при смешанном соединении элементов справедливы все методы расчёта цепей постоянного тока, но в комплексной форме.

Мощность цепи синусоидального тока. Мгновенная мощность: , произведение мгновенных значений напряжения и тока

Построим график мгновенной мощности при  активно-индуктивной нагрузке: , т.е. . Так как то в интервале времени, в течение которых значения напряжения и тока оба отрицательных или оба отрицательных, мгновенная мощность  положительная, а там, где знаки не совпадают,  отрицательная. Положительная мощность  означает, в рассматриваемый участок электрической цепи поступает энергия, а отрицательная – что участок отдаёт энергию

Однако среднее значение мощности всегда положительное, так как на участке есть необратимые преобразования энергии.

Рис. 2.10. Мгновенная мощность.

В предельных случаях (участок без потерь – катушка или конденсатор) сдвиг фаз между напряжением и током равен +90  или – 90  и средняя мощность равна нулю.

Рассмотрим участок цепи, содержащий последовательно включенные элементы с параметрами R, L и С. Мгновенная мощность участка

 

Рис. 2.11. Последовательное соединение элементов.

Начальная фаза тока  Начальная фаза напряжения  

 Напряжения на отдельных элементах цепи:

=

Мгновенные мощности элементов:

=

=

=

Мгновенная мощность элемента с активным сопротивлением имеет две составляющие: постоянную и переменную
, изменяющуюся по косинусоидальному закону с удвоенной частотой.

Мгновенная мощность реактивных элементов  переменная, изменяется по синусоидальному закону с удвоенной частотой, причём для элементов с индуктивностью и ёмкостью имеет противоположные знаки. Суммарная мгновенная мощность реактивных элементов:

т.е. изменяется по синусоидальному закону с удвоенной частотой.

Суммарная мгновенная мощность:

 

Рис. 2.12 Изменение электрических величин в цепи с активным сопротивлением	Рис. 2.13 Изменение электрических величин в цепи с индуктивным элементом
а – напряжения и тока; б – мощности	а – напряжения и тока; б - мощности

Аналогично можно показать и для емкостного элемента.

Активная мощность. Найдём мощность необратимых преобразований электрической энергии на участке цепи за период:

так как среднее за период значение гармонической функции двойной частоты равно нулю.

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приёмнику и её преобразования в другие виды энергии, т.е. активный необратимый процесс.

Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью

Реактивная мощность. Мощность реактивных элементов в среднем за период равна нулю, но в течение четверти периода она положительна, что физически означает накопление энергии в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода – отрицательная, что соответствует обратному процессу. Таким образом, имеет место колебания энергии, но необратимых преобразований энергии нет. Мощность колеблющейся энергии в отличии от активной называют реактивной и обозначают Q

Для индуктивного элемента , т.к.

Для емкостного элемента т.к.

Q =

 

Полная мощность Кроме активной и реактивной мощностей цепь синусоидального тока характеризуется полной мощностью, обозначаемой буквой S. Под полной мощностью понимают максимально возможную мощность при заданных напряжении    

угол сдвига фаз через активную  и реактивную мощность

д

Мощность в комплексной форме.

где  сопряжённый комплексный ток.

Используя формулу Эйлера, получим

Если в цепи преобладает индуктивность (, то

,

а если преобладает ёмкость ( то

Косинус угла , равного сдвигу фаз между током и напряжением, называют коэффициентом мощности:

Он показывает, какая доля полной мощности составляет активную мощность или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

Когда т.е. когда активная мощность равна полной мощности.

то чем выше , тем при меньшем значении тока в цепи может быть произведено преобразование электроэнергии в другие виды энергии. Это приводит к уменьшению потерь электроэнергии, её экономии и удешевлению устройства электропередачи.

 

Трёхфазные цепи

Общие сведения. Трёхфазную систему предложил, изготовил и применил на практике выдающийся русский инженер М. О. Доливо-Д обровольский (1862 – 1919 гг.). После демонстрации системы на Парижской выставке 1891г. она завоевала всемирное признание и стала преобладающей.

Получение трёхфазной системы ЭДС. Три одинаковые по частоте и амплитуде, сдвинутые по фазе на 120 , ЭДС получаются в трёхфазных синхронных генераторах, установленных на подавляющем большинстве крупных электростанций.

Рис. 3.1 Синхронный генератор Рис. 3.2 Мгновенные значения ЭДС

 

Простейший синхронный генератор имеет на статоре три одинаковые обмотки, сдвинутые в пространстве на  угол 120 относительно друг друга. При вращении ротора, выполненного в виде электромагнита, в обмомотках статора индуктируются три синусоидальные ЭДС (  одинаковой частоты и с равными амплитудами, сдвинутыми по  фазе относительно друг друга на 120 .

Каждая ЭДС сдвинута по фазе относительно друг друга на 120  Порядок чередования фаз определён ГОСТ: А В С.

Если начальную фазу ЭДС  принять равной нулю, то мгновенное значение ЭДС можно записать так:

В комплексной форме действующее значение этих же ЭДС:

Трёхфазная система может быть изображена в виде трёх векторов

сдвинутых на угол 120  относительно друг друга (ось действительных 

величин при расчёте трёхфазных систем принято направлять верти-

кально) Вектор (начальная фаза  равна нулю) направлен по действительной оси, вектор  отстаёт на угол 120 , а вектор  опережает на угол 120

Несвязанная трёхфазная система. Если к каждой обмотке трёхфазного синхронного генератора подключить отдельный приёмник

то получим несвязанную трёхфазную систему, которая состоит из трёх независимо работающих однофазных цепей. Каждая из однофазных цепей
называется фазой  трёхфазной системы.

Рис.3.3 Несвязанная трёхфазная система

Выводы обмоток генератора А, В, С и приёмников a, b, c называют 

началами, а X, Y, Z  и x, y, z концами. Напряжение между началами и концами обмоток генератора или началами и концами приёмников называют фазными напряжениями. Если пренебречь сопротивлением соединительных проводов, то напряжения на выводах обмоток генератора и приёмниках соответственно равны, т. е.
, Так как в данной схеме фазы независимы друг от друга, то и токи в каждой из них:  которые называют фазными токами, не зависят друг от друга.

Соединения обмоток трёхфазных генераторов. Обмотки трёхфазных генераторов соединяют звездой или треугольником.

При соединении звездой концы обмоток X, Y, Z объединяют в общий узел N, называемый нейтральной точкой генератора. Провода идущие

к приёмникам от начала A, B, C фаз, называют лин