![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Числовые ряды и признаки их сходимости
Пусть дана последовательность Величина Для каждого ряда существует последовательность частичных сумм:
Определение 1. Если сходится последовательность частичных сумм ряда, то и соответствующий ряд называется сходящимся. Пример. Рассмотрим убывающую геометрическую прогрессию - кстати, прогрессия это один из важных частных случаев ряда.
Если закрасить половину, затем четверть квадрата, и каждый раз половину того, что осталось до целого, то мы никогда не превысим площадь квадрата, а закрашенная площадь будет приближаться к 1. Известна формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии: Лемма. Сходимость ряда эквивалентна сходимости любого из его остатков. Доказательство.
Более подробное определение сходимости с помощью Определение 2. Ряд Определения 1 и 2 эквивалентны: если, начиная с некоторого номера, сумма оставшихся элементов меньше любой заранее заданной погрешности, это и означает, что частичные суммы стабилизируются при Теорема 1. Необходимый признак сходимости. Если ряд Доказательство. Так как остаток ряда стремится к нулю, то есть сумма Замечание. Это необходимый, а не достаточный признак. Если
Гармонический ряд Доказательство его расходимости. Возьмём сумму от элемента номер n+1 до 2n. Докажем, что она больше 1/2, то есть для произвольного Если была бы сходимость, то для любого Наименьший элемент здесь
Итак, часть частичной суммы от номера n+1 до 2n больше, чем
Суммы рядов в некоторых случаях можно найти, используя формулу Тейлора. Вспомним, например, Вспомним разложение функции Если все слагаемые здесь были бы со знаком «+» то это был бы гармонический ряд, расходимость которого доказали ранее. Получается, что если знаки чередуются, то сходимость может быть из-за частичной компенсации слагаемых, а если взять по модулю, то сходимости может и не быть. В связи с этим возникают такие понятия:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-22; просмотров: 127; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.205.23 (0.006 с.) |