Задача 5-С: Пространственная система произвольно расположенных сил

 

Плита весом P =3 кН со сторонами AB  3 a, BC  2 a закреплена в точке А сферическим, а в точке В цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем CC  (Рис. 1 – 6). На плиту действует пара сил с моментом M =5 кН  м, лежащая в плоскости плиты, и две силы (номера, величины, направление и точки приложения сил приведены в таблице 1). Точки приложения сил D, E, H находятся на серединах сторон плиты, a  0. 8 м.

              Определить реакции связей (опорные реакции) в точках А, В и С.   

Таблица 1.

№ вар.	Сила								№ рис.
	F 1=4 кН		F 2 =6 кН		F 3=8 кН		F 4 =10 кН
	Точка прил-я	α1,°	Точка прил-я	α2,°	Точка прил-я	α3,°	Точка прил-я	α4,°
1	D	60	-	-	E	0	-	-	1
2	H	90	D	30	-	-	-	-	1
3	-	-	E	60	-	-	D	90	1
4	-	-	-	-	E	30	H	0	1
5	-	-	D	60	H	0	-	-	2
6	-	-	H	30	-	-	D	90	2
7	E	30	H	90	-	-	-	-	2
8	-	-	-	-	D	0	E	60	2
9	D	60	-	-	E	0	-	-	3
10	H	90	D	30	-	-	-	-	3
11	-	-	E	60	-	-	D	90	3
12	-	-	-	-	E	30	H	0	3
13	-	-	D	60	H	0	-	-	4
14	-	-	H	30	-	-	D	90	4
15	E	30	H	90	-	-	-	-	4
16	-	-	-	-	D	0	E	60	4
17	D	60	-	-	E	0	-	-	5
18	H	90	D	30	-	-	-	-	5
19	-	-	E	60	-	-	D	90	5
20	-	-	-	-	E	30	H	0	5
21	-	-	D	60	H	0	-	-	6
22	-	-	H	30	-	-	D	90	6
23	E	30	H	90	-	-	-	-	6
24	-	-	-	-	D	0	E	60	6

 

                                            Рис. 1                                                                   Рис. 2

 

 

                                            Рис. 3                                                                   Рис. 4

          

                                            Рис. 5                                                                   Рис. 6

Примечание. Задача 5-С – на равновесие тела под действием пространственной системы сил.  

На исходном рисунке изображаем заданные для Вашего варианта силы. Согласно аксиоме о связях в точках А, В и С вместо связей изображаем силы реакции связей. Реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, параллельные координатным осям, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости,

 

перпендикулярной оси шарнира. В точке С реакция связи R _C направлена вдоль

 

оси стержня CC . При вычислении момента силы F часто удобно разложить

 

ее на составляющие F  и F , для которых плечи легко вычисляются, в частности. на составляющие, параллельные координатным осям, и

 

воспользоваться теоремой Вариньона; тогда M _o  F  M _o  F  M _o  F .

 

Пример решения задачи

 

Задача. Однородная прямоугольная плита весом P  3 кН со сторонами

AB  3 a, BC  2 a закреплена в точке А сферическим, а в точке В цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем 

CC  (рис. 7). 

                На плиту действует пара сил с моментом M = 5 кН  м, лежащая в

 

плоскости плиты, и две силы: в точке Н F = 4 кН, параллельная оси y, и в точке 1

 

D F = 6 кН, параллельная плоскости xAz. Точки приложения сил находятся на 2

серединах сторон,  90^o;  30^o, a  0. 8 м.

                                                  1               2

   Определить реакции связей в точках А, В и С.

 

 

Рис. 7

Решение. Рассмотрим равновесие рамы. На нее действуют заданные силы

 

P, F ₁ , F ₂ и пара сил с моментом M.

1. Отбрасываем связи. Действие связей заменяем силами реакции связей. В

 

точке А сферический шарнир. Неизвестную силу реакции связи R _A раскладываем на составляющие, параллельные осям координат. 

 

R _A  X _A  Y _A  Z _A . В точке В цилиндрический шарнир. Неизвестную силу реакции связи раскладываем на составляющие, параллельные осям координат

 

и лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. R _B  Y _B  Z _B . В

 

точке С реакция связи R _C направлена вдоль оси стержня CC  (рис. 8).

Силы F ₂ и R _C раскладываем на составляющие, параллельные осям

 

координат. F 2  F 2  F 2;	R C  R C   R C ;
F 2 sin 2  60. 5  3. 0;	F 2 F 2  cos 2  60. 866 5. 196;
R C   R C  cos 30^o R C 0. 866;	R C   R C  sin 30^o R C 0. 5.

 

Рис. 8

2. Записываем условия равновесия пространственной системы сил.

 F ix  0;	X A  F 2  R C 0. 866  0              (1)
 F iy  0;	Y A  Y B  F 1  0                      (2)
 F iz 0;	Z A  Z B  F 2 R C 0. 50              (3)
 M x  F i  0;	F 22 a  R C 0. 52 a  0              (4)
 M y  F i  0;	3 a  Z B 3 a  R C 0. 53 a  F 2      0                                              (5) 2
 M z  F i  0;	Y B 3 a  F 1 3 a  F 22 a  R C 0. 866 2 a  M  0
	(6)

3. Решаем систему из 6-ти линейных алгебраических уравнений.

Из уравнения (4) следует R _C   F 2; R C   5. 196  10. 392 (кН)

                                                                                      0. 5               0. 5

Из уравнения (5) следует Z _B   R ^C 0. 533 aa  F ²3 a ² _; Z _B  2. 598 (кН)

Из ур. (6) следует Y _B   R ^C 0. 866 2 a  M 3 a  F ¹ 3 a  F ²2 a; Y _B  9. 916 (кН)

Из уравнения (1) следует X _A  F ₂  R _C 0. 866; X _A  5. 999 (кН) Из уравнения (2) следует Y _A   Y _B  F ₁; Y _A  5. 916 (кН).

Из уравнения (3) следует Z _A   Z _B  F ₂ R _C 0. 5; Z _A  2. 598 (кН).

Ответ:    

X _A  5. 999 кН; Y _A  5. 916 кН; Z _A  2. 598 кН; Y_B 9. 916 кН; Z _B  2. 598 кН; R _C  10. 392 кН.

Знак минус указывает, что направление силы противоположно.