Температурное поле. Уравнение теплопроводности

 

Будем рассматривать однородные и изотропные тела, т.е. обладающие одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передаче теплоты в твердом теле его температура будет изменяться по всему объему и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

                                          t=f (x, y, z, τ),                                                  (9.1)

где t - температура тела; x, y, z - координаты точки; τ - время.

Температурное поле называется нестационарным, если соответствует неустановившемуся режиму теплопроводности (∂ t /∂ τ ≠0).

Если температура тела зависит только от координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

                                   t=f (x, y, z),  ∂ t /∂ τ =0.                                    (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

- для нестационарного режима:

                                  t=f (x, y, τ),  ∂ t /∂ τ ≠0;                                        (9.3)

для стационарного режима:

                             t=f (x, y),    ∂ t /∂ z =0,  ∂ t /∂ τ =0.                            (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

                                t=f (x, τ),  ∂ t /∂ y =∂ t /∂ z =0,    ∂ t /∂ τ ≠0;               (9.5)

для стационарного режима:

                               t=f (x),  ∂ t /∂ y =∂ t /∂ z =0,  ∂ t /∂ τ =0.                  (9.6)

Изотермическая поверхность - поверхность тела с температурой, одинаковой во всех точках.

Рассмотрим две изотермические поверхности (рис. 9.1) с температурами t и t +∆ t. Градиент температуры - предел отношения изменения температуры ∆ t к расстоянию между изотермами по нормали ∆ n, когда ∆ n стремится к нулю:

     grad t =| grad t |= lim_{∆ n →0} [∆ t /∆ n ] =∂ t /∂ n. (9.7)

Температурный градиент - это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормали n:

      grad t = ∂ t /∂ n n _o,                   (9.7^*)

где n _o - единичный вектор нормали.

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени, называется тепловым потоком Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади, называют плотностью теплового потока

                                      q=Q/F, [Вт/м²].

Тепловой поток в твердом теле подчиняется закону Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока,

                                           Q = -λ∙F∙∂t/∂n,                                           (9.8)

или

                                       q = -λ∙∂t/∂n∙n_o = -λ ∙grad t,                             (9.9)

где q - вектор плотности теплового потока; λ - κоэффициент теплопроводности, [Вт/(м∙К)].

Значение плотности теплового потока вычисляется по формуле:

                                        q=-λ∙∂t/∂n=-λ ∙|grad t |,                                 (9.10)

где |grad t | - модуль температурного градиента.

Коэффициент теплопроводности - физический параметр вещества, характеризующий способность тела проводить теплоту. Эта способность зависит от рода вещества, давления и температуры. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяют опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

 

Стационарная теплопроводность через плоскую стенку

1. Однородная плоская стенка (рис. 9.2).Температура поверхностей стенки t_{ст 1} и t_{ст 2}.Плотность теплового потока:

q=-λ∙∂t/∂n=-λ∙∂t/∂x=-λ ∙(t_{cт 2}- t_{cт 1})/(x_{cт 2}- x_{cт 1})

Или

                       q = λ ∙Δ t /Δ x.               (9.13)

Так как Δ x=δ, то

                         q= (λ/δ)∙Δ t.               (9.14)

R=δ/λ - термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м²∙К)/Вт]. Поэтому плотность теплового потока:

            q =(t_{ст 1}– t_{ст 2})/ R.         (9.15)

Общее количество теплоты, проходя-щее через поверхность F за время τ:

    Q=q∙F∙τ =(t_{ст 1}– t_{ст 2})/ R·F∙τ.        (9.16)

Температура тела в точке с координатой х:

      t_x=t_{ст 1}–(t_{ст 1}– t_{ст 2})∙ x/δ.       (9.17)

2. Многослойная плоская стенка. Рассмотрим трёхслойную стенку (рис. 9.3). Температура наружных поверхностей стенок t_{ст 1} и t_{ст 2}; коэффициенты теплопроводности слоев λ ₁, λ ₂, λ ₃; толщина слоев δ ₁, δ ₂, δ ₃.

Плотности тепловых потоков через каждый слой стенки:

       q=λ ₁/ δ ₁∙(t_{ст 1}- t_{сл 1}), (9.18)
                 q=λ ₂/ δ ₂∙(t_{сл 1}– t_{сл 2}), (9.19)
                   q=λ ₃/ δ ₃∙(t_{сл 2}– t_{ст 2}),     (9.20)

Разрешая (9.18)-(9.20) относитель-но разности температур и складывая, получим:

                  q = (t_{ст 1}- t_{ст 2})/ R _o,      (9.21)

где R _o=(δ ₁/ λ ₁+ δ ₂/ λ ₂+ δ ₃/ λ ₃) - общее термическое сопротивление теплопроводности трёхслойной стенки.

Температура слоев определяется по формулам:

  t_{сл 1}= t_{ст 1}- q ∙(δ ₁/ λ ₁). (9.22)
               t_{сл 2}= t_{сл 1}– q· (δ ₂/ λ ₂).          (9.23)