ЛЕММА 2.2. (откладывание вектора от точки)

Для любого вектора и любой точки существует единственная точка такая, что .

Доказательство. Сначала докажем конструктивно, что такая точка существует. Пусть — представитель вектора . Построим середину отрезка точку . Далее строим точку , симметричную точке относительно точки . Точка искомая, так как середины отрезков и совпадают, то по лемме 1.1. , значит, . Осталось доказать единственность. Предположим, чтосуществует еще одна точка такая, что . Тогда получаем , следовательно, по лемме 2.1. . Поэтому точки и совпадают.

Определение 2.2. Говорят, что вектор параллелен прямой , если любой его представитель либо параллелен этой прямой, либо лежит на ней.

Определение 2.3. Векторы и называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой (мы пишем ).

Очевидно, что если , то они либо сонаправлены (если сонаправлены любые их представители), либо противоположно направлены (если противонаправлены любые их представители). Снова условимся считать, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору .

Определение 2.4. Пусть произвольный вектор и — его представитель,тогда вектор . Вектор

называется противоположным к вектору

и обозначается .

Очевидно, что противоположен вектору , т.е.

.

Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов и называется вектор , где , , — произвольная точка, — точки, полученные после откладывания векторов и .

 

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки .

Действительно, пусть --- любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что .

Так как и , то по лемме2.1. и , то есть . Следовательно, по той же лемме
.

Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1. --- коммутативность сложения векторов.

2. --- ассоциативность сложения векторов.

3. .

4. .

Доказательство.

1. Пусть и --- произвольные векторы. От какой-нибудь точки отложим векторы , а затем от точки отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е. .

По правилу треугольника и , следовательно, . Отсюда получаем, что .

2. Пусть и --- произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку и отложим последовательно векторы
.
По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое.

3. Применим правило к точкам получим
.

Значит, .

4. Применим правило к точкам получим
.
Значит, .

Замечание 3.2.

1. Суммой векторов и будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что
:

.

2. Аналогично можно определить сумму векторов, где . Пусть --- произвольные векторы. Их суммой называется вектор , и обозначается так: .
Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково:
Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего.
Нетрудно убедиться в том, что сумма векторов не зависит от порядка слагаемых.

3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма:
Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор.

Докажем существование и единственность разности.
Существование. Отложим векторы и от одной и той же точки :

Применяя равенство для точек получаем

Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности.
Единственность. Пусть существует еще вектор такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим

Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается .
Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов:

Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

 

Отметим еще равенство

В самом деле,

Умножение вектора на число.

Определение 5.1. Произведением вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;

2. , если и
, если .

Из условия 1. следует, что тогда и только тогда, когда или .

В дальнейшем вместо записи будем употреблять запись

Напомним определение гомотетии, известное из школьного курса геометрии.
Определение 5.2. Гомотетией с центром в точке и коэффициентом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что выполнены следующие условия:

1. точки лежат на одной прямой;

2. ;

3. , если и
, если .

Предварительно докажем одну лемму.

ЛЕММА 5.1. Если при гомотетии с центром в точке и коэффициентом треугольник переходит
в треугольник , то .

Доказательство. По определению гомотетии имеем и , поэтому подобен с коэффициентом . Отсюда следует, что и . Если , то точки и лежат по одну сторону от прямой , поэтому , следовательно, . Если , то точки и лежат по разные стороны от прямой , поэтому , т.е. и в этом случае .