Основные подходы к разработке математических моделей систем (формальный, аналитический).

Этапы разработки системы:

6) Формулировка цели Z разработки системы – количественный показатель, характеризующий качество системы. Является основополагающим этапом (должна быть четко сформулирована цель, четкая ориентированность, ее важность)

7) Определение границ системы, входных и выходных параметров x, u, y, u

8) Моделирование системы

В качестве модели принимается выходная величина: Y(r)=F[x(r), u(r), E(r), r]

9) Синтез управления – необходимо разработать план управления u(r) для достижения Z с использовании информации о x(r), u(r), E(r), Y(r). 

10) Коррекция – определяет возврат к предыдущим этапам с целью учета границ раздела системы, т.к. система “эволюционирует” (изменяется по времени, поэтому необходима постоянная корректировка) 

Методы моделирования системы:

3. Метод “черного ящика” (формальный) – подразумевает анализ системы без оглубления в физику процесса. В металлургических процессах не очень эффективен, поскольку в лучшем случае он применим только для конкретных систем без возможности переноса на другие однотипные системы. При этом нет однозначной функциональной зависимости между входом и выходом, т.к. внутренние свойства объекта во времени могут изменяться.

4. Аналитический подход – подразумевает наличие физики процесса, входные и выходные параметры связываются зависимостями.

Линейные системы управления и описание их в виде модели Вход-выход. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений систем управления. Принцип малых отклонений. Стандартная форма записи линеаризованного уравнения. Физический смысл коэффициентов уравнения. Область применения линеаризованных моделей. Примеры реализации.

Определим линейность такой модели: на заданном интервале [r1, r2] два фрагмента выходного параметра x1 и x2, а в один и тот же начальный момент два различных начальных состояния, следовательно:

P1(r)=S{x01, P1(r0), [r1, r2]}

P2(r)=S{x02, P2(r0), [r1, r2]}

Y1(r)=F{x01, P1(r0), [r1, r2]}

Y1(r)=F{x02, P2(r0), [r1, r2]}

Определяющим фактором линейной модели является однородность и аддитивность S и F.

Свойство однородности:

F{kx1, kP(r0), [r1, r2]}=kF{x1, P(r0), [r1, r2]}

S{kx1, kP(r0), [r1, r2]}=kS{x1, P(r0), [r1, r2]}

Свойство аддитивности:

F{x0, P(r0), [r1, r2]}= F{x1, P1(r0), [r1, r2]}+ F{x2, P2(r0), [r1, r2]} (Y(r)=Y1(r)+Y2(r))

S{x0, P(r0), [r1, r2]}= S{x1, P1(r0), [r1, r2]}+ S{x2, P2(r0), [r1, r2]} (P(r)=P1(r)+P2(r))

Операторы S и F являются линейными, если они одновременно соответствуют свойствам однородности и аддитивности. Система линейна, если эти операторы линейны.

Основное свойство линейности – использования принципа суперпозиции, т.е. на функциональном временном интервале реакция системы на сумму входных воздействий и начальных состояний равна сумме этих реакций от этих входных процессов и начальных состояний в отдельности.

Если xo=СУММ(xi0) и P(r0)=СУММ(Pi(r0)), то

Y(r)=СУММ(Yi(r)) и P(r)=СУММ(Pi(r)).

Принцип малых отклонений описан в другом билете.

Стандартная форма записи линеаризованных уравнений.

Линеаризованное дифференциальное уравнение записывается так, чтобы выходные величины и её производные находились в левой части уравнения, а входные – в правой, при этом сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица.

Отбросив слагаемые высокого порядка ввиду их малой значимости, имеем:

K – коэффициент передачи (характеризует изменение выходного параметра относительно входного в стационарном установившемся состоянии), Т – мера инерции объекта (характеризует скорость изменения выходного параметра по изменению входного)

В преобразовании по Лапласу получим:

Область применения линеаризованных уравнений.

В металлургии большинство процессов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Для их упрощения применяется линеаризация. В качестве примера можно привести моделирования уровня расплава на МНЛЗ (см. выше) – там происходит линеаризация закона сохранения масс в различных подсистемах. Об остальном выше!

Билет 15