Аналитическое и численное решение дифференциальных уравнений.

1.1 Аналитическое решение дифференциального уравнения 1 порядка методом преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа функции времени , называется функция  комплексной переменной , такая что:

                                                                                         (1.1)

Удобство использования этого преобразования для решения дифференциальных уравнений заключается в том, что после преобразования по Лапласу дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические. Причиной описанного изменения свойств дифференциальных уравнений при использовании преобразования Лапласа являются следующие следствия (1.1):

                                                                     (1.2)

Таким образом, процесс решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа заключается в выполнении следующих шагов:

- преобразование исходного дифференциального уравнения в алгебраическое;

- нахождение решения алгебраического уравнения;

- определение решения дифференциального уравнения с помощью обратного преобразования Лапласа, применяемого к полученному ранее решению алгебраического уравнения.

Под обратным преобразованием Лапласа понимается следующее соотношение:

                                                                 (1.3)

При выполнении практических расчетов, требующих решения дифференциальных уравнений, используются таблицы преобразования Лапласа, которые позволяют выполнять операции прямого и обратного преобразований без выполнения операций интегрирования, предусмотренными выражениями (1.1) и (1.3)

Для примера рассмотрим решение следующего дифференциального уравнения первого порядка:

После преобразования по Лапласу в соответствии с (1.2) получаем следующее алгебраическое уравнение:

                                                                                     (1.4)

Очевидно, что решением (1.4) является выражение (1.5)

                                                                                         (1.5)

Для получения оригинала  может быть использовано Следующее табличное соотношение:

После применения табличного соотношения к нашему случаю получаем искомое решение дифференциального уравнения:

1.2. Аналитическое решение дифференциального уравнения 2 порядка методом преобразования Лапласа.

Вещественные корни характеристического уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

В соответствии с таблицей преобразования Лапласа

Комплексные корни характеристического уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

Для удобства применения таблиц обратного преобразования Лапласа представим  в виде следующей суммы:

слагаемые которой соответствуют следующим табличным выражениям:

что позволит представить  в следующем виде:

Использование описанного выше разложения на дроби позволяет получить следующие выражения: