Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри

 

Означення1. Аналітична на всій комплексній площині функція називається цілою функцією.

Теорема4 (Ліувіля). Нехай – ціла функція, а її модуль обмежений, тоді ця функція – константа.

Доведення [3, с.173], [2, с.225].

Приклад1. - ціла функція і , отже - необмежений, тобто існує z такий, що .

Застосування теореми Ліувіля є основною теоремою алгебри:

Всякий многочлен має хоча б один нуль.

Доведення слідує з того, що якщо нулів немає, то функція

має обмежений модуль і є цілою, не буде константою. Це протиречить теоремі Ліувіля. Отже, припущення щодо відсутності нуля – невірне.

 

Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду

 

Теорема5. Функція , аналітична в середині кола розкладається в цьому колі в степеневий ряд:

.

Коефіцієнти визначаються по формулі або , де l - будь-який кусочно-гладкий замкнений контур, який повністю належить колу та знаходиться навколо точки . Ряд визначений однозначно.

Доведення теореми див. [2, с.225], [1,с.64].

Нехай аналітична в колі . Приймемо за - будь-яка окружність з центром в точці , що цілком лежить в колі , і через - максимум модуля на колі , тоді для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка

,

які носять назву нерівність Коші.

Приклад1. Розкласти в ряд для .

Розв’язання.

Вправи

Розкласти в ряд Тейлора в =0 функції:

Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності

 

Означення2. Нехай аналітична в області . Точка називається нулем , якщо .

Нехай розкладається в околі в ряд , тоді якщо – нуль , то . Якщо , – називається нулем порядку k.

Якщо – нуль порядку k, то , де - аналітична функція в околі і не є нулем функції .

Теорема6. Нехай аналітична в області і обертається в нуль в різноманітних точках . Якщо послідовність сходиться до , в області .

Доведення теореми див. [2. с.263], [1, с.72].

Наслідок 1. Нулі аналітичних функцій – ізольовані точки.

Наслідок 2. Нехай аналітична в області , тоді в будь-якій обмеженій замкненій підобласті функція має скінчене число нулів.

Наслідок з теореми являє собою теорему єдиності:

Теорема7. Нехай і аналітичні в . Якщо в існує деяка підпослідовність різноманітних точок , що сходиться до деякої точки , в яких і співпадають, то в .

З теореми єдиності легко отримати:

Наслідок 1: Якщо і аналітичні в і співпадають на деякій кривій, що належить , то .

Наслідок 2: Якщо , аналітичні в , відповідно і , область така, що , то існує єдина аналітична функція

Приклад1. Визначити нулі та їх порядок .

Розв’язання. Нулями є точки . Покажемо, що нулі мають порядок 1. Дійсно, для нуля , та , тобто 3і – нуль першого порядку. Аналогічно для .

Вправи

Знайти порядок нуля z=0 для функцій: