Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
Означення1. Аналітична на всій комплексній площині функція називається цілою функцією. Теорема4 (Ліувіля). Нехай – ціла функція, а її модуль обмежений, тоді ця функція – константа. Доведення [3, с.173], [2, с.225]. Приклад1. - ціла функція і , отже - необмежений, тобто існує z такий, що . Застосування теореми Ліувіля є основною теоремою алгебри: Всякий многочлен має хоча б один нуль. Доведення слідує з того, що якщо нулів немає, то функція має обмежений модуль і є цілою, не буде константою. Це протиречить теоремі Ліувіля. Отже, припущення щодо відсутності нуля – невірне.
Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
Теорема5. Функція , аналітична в середині кола розкладається в цьому колі в степеневий ряд: . Коефіцієнти визначаються по формулі або , де l - будь-який кусочно-гладкий замкнений контур, який повністю належить колу та знаходиться навколо точки . Ряд визначений однозначно. Доведення теореми див. [2, с.225], [1,с.64]. Нехай аналітична в колі . Приймемо за - будь-яка окружність з центром в точці , що цілком лежить в колі , і через - максимум модуля на колі , тоді для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка , які носять назву нерівність Коші. Приклад1. Розкласти в ряд для . Розв’язання. Вправи Розкласти в ряд Тейлора в =0 функції: Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
Означення2. Нехай аналітична в області . Точка називається нулем , якщо . Нехай розкладається в околі в ряд , тоді якщо – нуль , то . Якщо , – називається нулем порядку k. Якщо – нуль порядку k, то , де - аналітична функція в околі і не є нулем функції . Теорема6. Нехай аналітична в області і обертається в нуль в різноманітних точках . Якщо послідовність сходиться до , в області . Доведення теореми див. [2. с.263], [1, с.72]. Наслідок 1. Нулі аналітичних функцій – ізольовані точки. Наслідок 2. Нехай аналітична в області , тоді в будь-якій обмеженій замкненій підобласті функція має скінчене число нулів. Наслідок з теореми являє собою теорему єдиності: Теорема7. Нехай і аналітичні в . Якщо в існує деяка підпослідовність різноманітних точок , що сходиться до деякої точки , в яких і співпадають, то в .
З теореми єдиності легко отримати: Наслідок 1: Якщо і аналітичні в і співпадають на деякій кривій, що належить , то . Наслідок 2: Якщо , аналітичні в , відповідно і , область така, що , то існує єдина аналітична функція Приклад1. Визначити нулі та їх порядок . Розв’язання. Нулями є точки . Покажемо, що нулі мають порядок 1. Дійсно, для нуля , та , тобто 3і – нуль першого порядку. Аналогічно для . Вправи Знайти порядок нуля z=0 для функцій:
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 272; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.248.163 (0.008 с.) |