Скалярное произведение векторов

Основные теоретические сведения

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число , где – длины векторов и , а – угол межу этими векторами.

Скалярное произведение обозначается или .

Из определения следует, что

Свойства скалярного произведения.

1. – коммутативность произведения.

2. – ассоциативность относительно числового множителя.

3. – дистрибутивность суммы.

4. Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Из определения скалярного произведения следует: , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля (длины).

5.

6. Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе и , то .

Косинус угла между векторами: .

Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы вдоль указанного пути, определяется равенством .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. ; ; =2p/3. Вычислить:

a) ; б) ; в) .

Решение. Используя свойства скалярного произведения, находим:

a) ;

б) = = =

= =3 9+4 3 4 – 4 16=

=27 –4 –64 = –61;

в)

= = =9+2 3 4 +16=13.

Замечание. Квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле, используемой в обычной алгебре.

Ответ. a) 9; б) –61; в) 13.

 

Задача 2.2. ; . Определить, при каком значении векторы ₁+ ₂ и ₁– ₂ будут перпендикулярны.

Решение. Из условия ортогональности двух векторов следует, что ( ₁+ ₂) ( ₁–

– ₂)=0. Таким образом,

²= = .

Ответ. = .

Задача 2.3. Даны единичные векторы , и , удовлетворяющие условию + + . Вычислить + + .

Решение.

Способ 1. Векторы , , образуют равносторонний треугольник, у которого стороны равны 1: ; ( ^, )=(,^ )=(,^ )=2 /3. (Почему? Рис.1.16).

Рис. 1.16

Тогда + + = cos( ^, )+ cos(,^ )+ cos(,^ )= = .

Способ 2. ( + + )²= ²+ ²+ ² +2 +2 +2 =0

²+ ²+ ² +2( + + )= 3+2( + + )=0 + + = – .

Ответ. + + = – .

Задача 2.4. Даны векторы ={4,–2,–4} и ={6,–3,2}.

Вычислить:

а) ; д) пр ;

б) (2 –3 )( +2 ); e) пр ;

в) ( – )²; ж) направляющие косинусы вектора ;

г) ; з) пр .

Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:

a) = 4 6 + (–2) (–3) + (–4) 2 = 24+6 – 8 = 22.

б) Способ 1.

.

Способ 2. 2 ={8,–4,–8}; 3 ={18,–9,–6}; ={–10,5,–14}.

Аналогично ; =–10 16+5 (–8)–14 0= –200.

в) =36–2 22+49=41.

г) Координаты вектора ={2,–1,–10}, тогда

= = .

д) пр = = = .

е) пр = = .

ж) Для решения этой задачи вспомним формулы для направляющих косинусов вектора { x,y,z }: , , .

Замечание. {cos , cos , cos }= – орт. вектора .

В нашем случае = =6 и таким образом cos = = , cos = = – , cos = – = – .

з) Пр

= = – .

Ответ. а) 22; в) 41; д) ; ж) cos = , cos = – , cos = – ;

б) – 200; г) 105; е) ; з) – .

 

Задача 2.5. Найти единичный вектор, имеющий противоположное вектору направление, если ={6,–2,–3}.

Решение. Орт вектора , , , так как = =7, то . Полученный вектор , поэтому искомым вектором является .

Ответ. .

Задача 2.6. Вектор , коллинеарный вектору ={6;–8;–7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты.

Решение.

Способ 1. Так как вектор коллинеарен вектору , то . Зная, что =50, получаем =50, откуда 12,5 =50 = 4.

Вектор образует с осью Oz острый угол, следовательно, аппликата z у него должна быть положительной, т.е. = –4. Таким образом, ={–24;32;30}.

Способ 2. Так как вектор коллинеарен вектору , то = , следовательно, . Вектор образует с осью Oz тупой угол (так как его аппликата ), следовательно, <0, т.е. = – = –4, ={–24;32;30}.

Ответ. ={–24;32;30}.

 

Задача 2.7. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={2;3;–1} и ={1;–2;3} и удовлетворяет условию (2 )= – 6.

Решение. Пусть ={ x,y,z }, тогда из условия ортогональности вектора к и следует, что , . Известно также, что скалярное произведение вектора искомого вектора на данный: . Таким образом, получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z:

Решая систему, получаем , , , т.е., ={–3;3;3}.

Ответ. ={–3;3;3}.

 

Задача 2.8. Вычислить работу силы = при перемещении материальной точки из положения А (–1,2,0) в положение В (2,1,3).

Решение. Найдем координаты вектора , вдоль которого перемещается точка приложения силы: ={2–(–1);1–2;3–0}={3;–1;3}; = ( – вектор пути). Работа силы на пути равна скалярному произведению векторов и . Так как ={1;2;1}, то А = = .

Ответ. 4 ед. работы.

 

Задача 2.9. Даны вершины треугольника А (3,2,–3), B (5,1,–1), C (1,–2,1). Определить его внешний угол при вершине А. B

Решение. =( ^ ) (рис. 1.17).

={5–3,1–2,–1–(–3)}={2;–1;2}; ={2;4;–4}. A C

cos = = = Рис. 1.17

= = ; .

Ответ. .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что , вычислить:

1) ; 2) ; 3) .

Ответ. 1) – 62, 2) 162, 3) 373.

2. Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.

3. Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен . Зная, что , определить модуль вектора .

Ответ. .

4. Векторы и образуют угол ; зная, что вычислить угол a между векторами и .

Ответ. .

5. Даны векторы вычислить: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Ответ. 1) 22, 2) 6, 3) 7, 4) –200, 5) 129, 6) 41.

6. Даны точки А (–1,3,–7), В (2,–1,5), С (0,1,–5).

Вычислить 1) , 2) , 3) , 4) найти координаты вектора и .

Ответ. 1) –524, 2) 13, 3) 3, 4) и .

7. Даны вершины четырёхугольника А (1,–2,2), В (1,4,0), С (–4,1,1), D (–5,–5,3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.

8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Ответ. .

9. Даны два вектора . Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям .

Ответ. .

10. Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы и , а с осью Oy – острый угол b.

Ответ. –3.

11. Даны три вектора: Вычислить .

Ответ. –11.

12. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, что и угол между ними .

Ответ. 15, .

13. Вычислить , если и угол между ними .

Ответ. .

14. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами , В (–4,–2,0), С (3,–2,1).

Ответ. , , , , .

15. Для заданных векторов вычислить

а)

б)

Ответ. а) , б) .

16. Найти косинус угла j между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А (2,1,3), В (5,2,–1) и С (–3,3,–3).

Ответ. .

17. Даны векторы , и . Найти , если , , .

Ответ. .