Упрощение общего уравнения второй степени

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Ax ² + 2 Bxy + Cy ² + Dx + Ey + F = 0.

Задача упрощения этого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены: 1) член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

В том случае, когда уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его следует начинать с поворота осей без изменения начала координат и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам

Если после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду.

Координатную систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x ₁ Oy ₁, а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x ₁ Oy ₁, - через x ₂ O ₁ y ₂

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность — поверхность второго порядка, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению. В декартовых координатах может быть выражена уравнениями: ; ; , и некоторыми другими.

Частный случай цилиндрической поверхности: поверхность прямого кругового цилиндра с осью OZ. Выражается уравнением:

где R — радиус направляющей окружности.

Поверхности вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии

Примеры

• Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
• Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
• Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.
• Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
• Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.
• Круговая цилиндрическая поверхность
• Катеноид