Теорія руйнування гірських порід у складному напруженому стані

Передумова про малий вплив проміжного по величині напру-ження на руйнування гірських порід є єдиною в теорії Мора, яка в основному не вимагає перевірки, оскільки цілком ґрунтується на експериментальних даних. Однак, аналітичний критерій міцності отримується шляхом підбору відповідного емпіричного виразу і його застосування обмежується власне кажучи тією областю напру-жених станів, у якій виконані експерименти.

Таким чином, експериментальний характер забезпечує досить точний опис граничного стану матеріалу, емпіричний же підбір умови міцності не дає можливості повною мірою скористатися цією перевагою. Тому цікавим є висновок аналітичного критерію теорії на основі аналізу процесу руйнування в локальній області твердого тіла, що може бути представлений наступним способом. Дотичні напруження, величина яких досить повно характеризується інтенсивністю напружень , розпушують матеріал шляхом здвига-ння, а під дією нормальних напружень, рівень яких визначається кульковим тензором I, відбувається розкриття тріщин.

Ряд сучасних теорій міцності був отриманий на основі моделі руйнування твердих тіл із загальної функціональної залежності, яка об’єднує в одне співвідношення інтенсивності напружень і компо-ненти шарового тензора I:

(5)

де а, b, c – деякі параметри, визначені з випробувань при найпрос-тіших напружених станах:

(6)

(7)

Наступна гіпотеза Мора, припустимо, що міцність матеріалу практично залежить тільки від тих членів рівняння (6) і (7), які визначають різницю і суму найбільшого і найменшого компонентів напружень. Тоді з (5) при , отримаємо наступний вираз:

(8)

Параметри b і с визначимо з (8) у результаті вимірювань гірських порід при найпростіших напружених станах: при одновісному стис-ненні отримаємо

(9)

при одновісному розтягуванні

(10)

Розв’язуючи рівняння (9) і (10) отримаємо:

де (11)

Підставивши значення параметрів (11) у відношенні (8), отри-маємо наступну умову міцності:

(12)

або в загальному вигляді напруженого стану:

(13)

З рівняння (12) отримаємо:

(14)

де

(15)

Відмітимо, що при осесиметричному розподіленні напружень Звідси слідує, що вираз (14) є умовою міцності Треска-Сен-Венана. В загальному ж випадку напруженого стану перша частина умови (14) залежить від значень компонентів напруження.

Для матеріалів, які однаково протидіють стисненню і розтягу, . У цьому випадку із виразу (14) отримаємо теорію Кулона.

При із (12) отримаємо наступний частковий вираз теорії міцності:

(16)

Позначимо відповідно максимальне дотичне напруження і величину, яка характеризує вид напруженого стану, як і . Тоді вираз (12) з урахуванням прий-нятих позначень набуде вигляду:

(17)

Залежність (17) в системі координат «» являє рівняння параболи, що є опуклою і безперервною кривою.

У системі координат «» рівняння (12) має вигляд пара-боли, рівно нахиленої до осей і відкритої зі сторони стискаючих напружень, що відповідає вимозі симетричності умови виникнення граничного напруженого стану (рис.4). Із збільшенням величини y від 0 до 1 парабола витягається в сторону всебічного розтягання, що підтверджується дослідами Г.В. Ужика. І при парабола перет-ворюється в дві рівнобіжні прямі, які відповідають теорії «енергії формозміни».

Рис. 4. Поверхні граничних станів за формулою (3.17)

Таким чином, отримана умова міцності відповідає вимогам пос-тулату Друккера і відповідає сучасним уявленням про природу руй-нування твердих тіл.

Руйнування крихких матеріалів досить добре описується теорією Гриффітса. Муррель показав, що в системі координат «» ос-новне рівняння теорії Гриффітса може бути представлене наступ-ним чином:

(18)

Якщо в залежність (17) підставити, згідно Гриффітсу, y=1/8 і порівняти її з залежністю (18), то виявиться, що аналітичні вирази двох теорій міцності, отримані на основі різних фізичних представ-лень про природу руйнування, є практично ідентичними.

Умова міцності (12) при була перевірена Баушингером, який показав, що вона добре описує процес руйнування пластичних матеріалів.

На рис. 5 і рис. 6 показана теоретична крива залежності (12) у системі безрозмірних координат () і результати випробувань гірських порід, одержані А.Н. Ставрогіним і X. Куком.

Рис. 5. Порівняння аналітичного критерію (12) з результатами іспитів гірських порід і бетону: о – вапняк, – аргіліт, ▲ – талькохлорит, -о- – мармур 1, + – діабаз, * – діорит, -☼- – алевроліт Д-19, піщаник Д-12, ● – бетон.

Незважаючи на деяке наявне розкидання екс-периментальних точок, неминуче при випробу-ваннях структурно не-однорідних матеріалів, якими є гірські породи і бетони, з рисунків випливає, що запропо-нована умова міцності (12) досить добре опи-сує процес їхнього руй-нування при об'ємному стисканні і стисканні з розтягом.

Із виразу (12) може бути отримана формула для приведення склад-ного напруженого стану до простого одноосного. Вона має наступний вигляд:

(19)

де – еквівалентне напруження, тобто напруження, подібне одно-вісному напруженому стану.

Використовуючи формулу (19) можна за допомогою коефіцієнта запасу міцності n оцінити ступінь небезпеки руйнування породного середовища для будь-якої точки однорідного породного масиву в околиці виробки, порівнюючи величину з межею міцності на одновісне стиснення R_c:

(20)