Равнодействующая сил тяжести

Рассмотрим частный случай — систему частиц с абсолютно же- сткими связями. Модель такой системы — абсолютно твердое тело (рис. 4.11). Следствием абсолютной твердости (жесткости) связей является неизменность расстояний между любыми двумя частицами и размеров всего тела при произвольном воздействии на систему (т. е. отсутствие деформаций, а значит и внутренних сил). Следовательно, абсолютно твердое тело — модель макроскопического тела, размера- ми которого в рамках данной задачи нельзя пренебречь, но можно пре- небречь изменениями этих размеров, т. е. деформациями.

При замене дискретной системы частиц на непрерывную неизмен- ным остается расстояние между любыми двумя точками абсолютно

 

твердого тела. Далее вместо термина абсолютно твердое тело исполь- зуется термин твердое тело. Если система частиц представляет собой одно твердое тело, то индекс «внеш» ни у сил, ни у их моментов указы- ваться не будет, так как для одного твердого тела все силы внешние.

Твердое тело

 

F

внеш

1

 

 

искретная система

 

 

F

внеш

 

f 21

 

 

f 12 f 1

 

a 1

$ a = 0

 

 

епрерывная система

 

f 2

$ a = a 2

 

- a 1

a 2

– деформация

 

Рис. 4.11

 

$ a = 0

 

� Назовем равнодействующей сил, приложенных к твердому телу, силу

F равн (рис. 4.12):

 

F 2

F равн

 

F равн

M равн F

 

F M 2

M 1

Рис. 4.12

равную сумме сил, действующих на твердое тело

F равн =å F, (4.39)

� �

i

i =1

 

�

�

момент которой относительно произвольной точки О равен сумме мо- ментов всех сил относительно этой точки

равн � равн

� � �

M = [ r, F

] =å[ ri, Fi ] =å Mi. (4.40)

i =1 i =1

Здесь � — радиус-вектор i частицы (точки) тела, к которой прило-

ri � �

жена сила Fi относительно точки О, r – неизвестный радиус-вектор

точки приложения равнодействую-

щей силы относительно точки О.

 

Рис. 4.13

F 1 = F

В общем случае совокупность сил, приложенных к твердому телу, может не иметь равнодействующей силы. Это значит, что не существует одной силы, которой можно заме- нить действие всех приложенных сил. Простейшим примером явля-

ется действие на твердое тело пары сил, т. е. одинаковых по модулю, но противоположных по направлению сил, приложенных к разным

частицам (точкам) тела. (ри�с. 4�.13).�Их сумма

F = F 1 + F 2 = 0.

Результатом воздействия на тело пары сил является его враще- ние. Очевидно, что действие нулевой силы, т. е. отсутствие какого- либо воздействия на систему, не эквивалентно действию двух ука- занных выше сил.

 

Рис. 4.14

Отметим, что для сил, приложенных к од- ной частице (4.8), равнодействующая сила су- ществует всегда.

Рассчитаем равнодействующую параллель- ных сил. Например сил тяжести твердого тела, представляющего собой дискретную систему частиц с абсолютно жесткими связями. Най- дем модуль, направление и точку приложения равнодействующей (рис. 4.14). По определе- нию (4.39–4.40)

�

F равн

�

� �=å å

Fi = mig = mg,

i =1 i

�

�

равн � равн � �

M = [ r, F ] = [ r, mg ], (4.41)

где m – масса i частицы, m – масса системы частиц, � — радиус-век-

i r

тор неизвестной точки приложения равнодействующей силы. С дру-

�

�

гой стороны,

равн � �

� � � �

M = å Mi = å[ ri, Fi ] = å[ ri, mig ] = [(å miri), g ].

i =1

i =1

i =1

i =1

Радиус-вектор центра масс системы по определению (4.28) равен

� 1 �

m

rC = å mi ri.

i �

Умножим и поделим выражение для M равн на m. Тогда

�

равн

� � 1

� � � �

M = [(å miri), g ] = [(m å miri), mg ] = [ rC, mg ]. (4.42)

i =1 i =1

Приравнивая (4.39) и (4.40), получаем

[ �, �] = [ �, m �].

r mg rC g

Решением этого уравнения является вектор

� � �

r = rC + const × g.

Если повернуть все силы тяжести относительно точек их прило- жения на один и тот же угол, то новая равнодействующая сила бу- дет направлена в другую сторону. Можно показать, что все так полу- ченные равнодействующие силы тяжести имеют одну общую точку

r rC

приложения � = �, т. е. равнодействующая сил тяжести приложена к

центру масс системы. Точка, к которой приложена равнодействую- щая сил тяжести, называется центром тяжести системы. Следова- тельно, центр масс (инерции) и центр тяжести совпадают (совпаде- ние — следствие приближения неизменности ускорения свободного падения в точках пространства, занятого системой частиц). Рассчи- таем сумму моментов сил тяжести, приложенных к системе, относи-

тельно ее центра масс с учетом того, что

�

r СЦ

= 0 (4.35).

� � � � � � � �

M = å M = å[ r, m g ] = å[ miri Ц, mg ] = [å miri Ц, mg ] =

(4.41)

Ц i Ц

i Ц i m m

i =1

i =1

� � i =1 �

i =1

= [ r СЦ, mg ] = [0, mg ] = 0.

 

Таким образом, сумма моментов сил тяжести относительно цен- тра масс твердого тела (т. е. в Ц-системе) равна нулю. Это равенст- во сохраняется при любом повороте твердого тела вокруг точки цен- тра масс. Данное утверждение справедливо и для непрерывных твер- дых тел.

 

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение Ц-системы отсчета.

2. Чему равны: радиус-вектор �, скорость � и ускорение � цен-

rC vC aC

тра масс механической системы в Ц-системе отсчета?

3. Дайте определение равнодействующей сил, приложенных к аб- солютно твердому телу.

4. К какой точке абсолютно твердого тела приложена равнодей- ствующая сил тяжести?

 

 

 

Задача 4.6

К концам гори- зонтального стержня длиной L = 1 м и мас- сой m = 2 кг подвеше- ны два груза массами

Примеры решения задач

m

1 g

 

 

M 2Ц

r 1

m 1 = 1 кг и m 2 = 3 кг.

На каком расстоянии x от большей массы находится центр тя- жести системы?

 

Ц

M

m

g

g m 2 g

Дано: L = 1 м; m = 2 кг; m 1 = 1 кг; m 2 = 3 кг. Найти: x.

Выберем произвольно (например, на стержне) точку С и будем считать, что центр тяжести системы находится в этой точке. Тогда (4.41) сумма моментов сил тяжести всех частей системы относитель- но точки С равна нулю, т. е.

å

� � � �

Mi Ц= M 1Ц+ M Ц + M 2Ц= 0. (1)

i =1

 

Направление векторов определяем по поступательному движению правого винта, вращая его от радиус-вектора к вектору силы (4.3), а модули — из (4.5). Следовательно,

� � � � �

М 1 Ц ­­ MЦ и M 1 Ц, MЦ ^ M 2 Ц. (2)

Модули векторов (4.5) равны соответственно

M = m gr sin p / 2 = m g (L + x),

1 Ц 1 1 1 2

Ц

M = mgr sin p / 2 = mg (L - x), (3)

M 2 Ц = m 2 gr 2 sin p / 2 = m 2 gx.

� � �

Сумма трех векторов M 1 Ц, MЦ и M 2 Ц, лежащих на одной прямой, равна нулю, только если

M 1 Ц + MЦ = M 2 Ц. (4)

Подставляя в (4) значения модулей векторов из (3), получаем урав- нение

m g (L + x) + mg (L - x) = m gx. (5)

1 2 2 2

Раскрывая скобки и перенося выражения, содержащие неизвест- ное в левую часть уравнения, определяем x

m g L + m gx + mg L - mgx = m gx

или

1 2 1 2 2

L g (m + m) = (m

- m + m) gx

и 2

x = m 1 + m

1 2 1

L = 1+2 1 = 3×1 = 0,375 м. (6)

m 2 - m 1 + m 2 3 -1+ 2 2 8

Ответ: x =

m 1 + m

L = 0,375 м.

m 2 - m 1 + m 2

 

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Симметрия

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии (рис. 4.15).

 

Отрезок прямой Прямоугольник с вырезом Эллипс с вырезом

Равносторонний треугольник Цилиндр Шар

Рис. 4.15

 

Разбиение

Если твердое тело можно разбить на конечное число таких час- тей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вы- числить по формулам (4.28). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело.

F

E 4 K

 

Задача 4.7

C 3

y 3 3

M

y 2 2 C

B D

A

–1 1 2 4

Дана однородная L плоская фигура ABDE- FKLMN, состоящая из трех прямоугольников.

Известны длины сторон всех прямоугольников,

х а значит, и координаты

x

x

x

–2 O

1 2

3 их центров симметрии.

4.8. Способы определения координат центра тяжести твердого тела 265

 

Найти координаты центра тяжести фигуры.

Дано: ABDO, OEFN, FKLM – прямоугольники; АВ = 1 м; BD = 2 м;

ОE = 4 м; EF = 2 м; FK = 4 м; KL = 2 м.

Найти: xC, yC.

Определим координаты центров симметрии и площади прямо- угольников, образующих фигуру ABDEFKLMN.

x 1 = –1 м, y 1 = 0,5 м, S 1 = 2 м2, x 2 = 1 м, y 2 = 2 м, S 2 = 8 м2, x 3 = 4 м, y 3 = 3 м, S 3 = 8 м2,

S = S 1 + S 2 + S 3 = 2 + 8 + 8 = 18 м2.

Получим формулы для определения координат центра тяжести произвольной фигуры, которую можно разбить на части, центры тя- жести которых известны. Умножим числитель и знаменатель в пра- вых частях выражения (4.28) на g

x = 1 å m gx, y = 1 å m gy, z

= 1 å m gz

. (1)

i

i

C mg i i C mg i i

C mg i i

i

Так как фигура однородна, то введем плотность единицы площа- ди фигуры s [кг/м2]. Тогда

mi = s Si, (2)

m = s S, (3)

где m = å mi – вся масса и S = å Si – вся площадь фигуры. Подстав-

i i

ляя (2) и (3) в (1), получим

 

11

 

s g

å Si xi

x

i

= å m gx = ås S gx =

å S x = i

(4)

i

i

C mg

i i s Sg

i i s Sg i i S

11

s g

å Si yi

y = å m gy = ås S gy =

å S y = i, (5)

i

i

C mg i i s Sg

i i s Sg i i S

i

где (xi, yi) — координаты центра тяжести i части фигуры. Подставляя в (4.45) и (4.46) условия примера, получим координаты центра тяже- сти фигуры ABDEFKLMN:

x = S 1 x 1 + S 2 x 2 + S 3 x 3 = 2(-1) + 8×1+ 8× 4 =38 =2 1 м,

C S 18

18 9

 

y = S 1 y 1 + S 2 y 2 + S 3 y 3 = 2 × 0, 5 + 8× 2 + 8× 3 =41 =2 5 м,

C S 18

18 18

где S 1, S 2, S 3 – площади первой, второй и третьей части фигуры, S =

= S 1 + S 2 + S 3.

Ответ: x

= S 1 x 1 + S 2 x 2 + S 3 x 3 =2 1 м;

C S 9

y = S 1 y 1 + S 2 y 2 + S 3 y 3 =2 5 м.

C S 18

Дополнение

Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести твер- дых тел без выреза и вырезанной части известны.

Задача 4.8

Дан круг радиуса R = 3 м с вырезан- ным кругом радиуса r = 1 м. Расстояние между центрами кругов a = 1 м. Найти координаты центра тяжести фигуры.

x Дано: R = 3 м; r = 1 м; a = 1 м.

Найти: xC, yC.

Представим несимметричную фигу- ру как сумму двух симметричных фи- гур: сплошного круга радиуса R с плот- ностью единицы площади s и сплош-

ного круга радиуса r с плотностью единицы площади — s. Тогда в формулах (4) и (5) задачи 4.7 площадь круга радиуса r должна вхо- дить со знаком минус. В этом случае

S = p R 2, S = -p r 2,

 

(1)

S = S + S = p(R 2 - r 2).

1 2

Пусть С1 и С2 — центры (тяжести) сплошных кругов с радиусами R и r соответственно. Центр тяжести всей фигуры С лежит на прямой С 1 С 2, так как эта линия является осью симметрии для круга с вырезом, т. е. yC = 0. Найдем xC. Поместим начало координат в центр сплошно-

Основные положения 267

 

го круга радиусом R и направим ось x вдоль прямой С 1 С 2. Тогда абс- циссы центров тяжести большого и малого кругов

x 1= 0, (2)

x 2 = a

и

x = S 1 x 1 + S 2 x 2 =-

 

p ar 2

= - ar 2 =

C S

=- 1×12

32 -12

p(R 2 - r 2) (R 2 - r 2)

= - 1 = −0,125 м.

Ответ: xC = -

(R

ar 2

2 - r 2)

 

= -0,125 м, yC = 0 м.

 

Интегрирование

В общем случае, если твердое тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно, то можно дискретную систему заменить на непрерывную и определить координаты центра тяжести системы по формулам (4.19), заменяя в них суммирование на интегрирование.

 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

L

�

· Момент

импульса �

Частицы

� � � p

L = [ r, p ],

где � — радиус-вектор частицы.

r � �

·

� r

М � омент � M силы F M = [ �, F ],

где r — радиус-вектор точки приложения силы.

· Ур � авнение моментов (для частицы)

=

dL �

M,

dt �

где M – сумма моментов сил, действующих на частицу.

· Закон с�охранения�момента импульса частицы:

если M = 0, то L = const.

 

· Момент Lz

импульса � частицы относительно оси z

p

Lz = L cosa, �

где a — угол между�вектором L и осью z.

· Момент Mz силы F частицы относительно оси z

Mz = M cosb, �

где b — угол между вектором M и осью z.

· Уравнение моментов (для частицы) относительно оси

dLz = M,

dt z

где Mz – проекция суммы моментов сил на ось z.

· Закон сохранения проекции момента импульса частицы:

если Mz = 0, то Lz = const.

· Сумма внутренних сил и их моментов для системы частиц равна

Нулю

�

F внут =0,

�

M внут =0.

�

· Момент L импульса системы частиц

å

� �

L = Li,

� i

где Li — момент импульса i частицы.

· Уравнение моментов (для системы частиц)

�

�

dL = M внеш,

dt

� �

где L – момент импульса системы частиц, M внеш – сумма момен- тов внешних сил, действующих на систему частиц.

· Закон с�охранения м�омента импульса системы частицы:

если M внеш = 0, то L = const.

· Уравнение моментов (для системы частиц) относительно оси

dLz = M внеш,

dt z

где Lz – проекция момента импульса системы частиц на ось z,

z

M внеш – сумма проекций моментов внешних сил на ось z.

Обозначения, используемые в главе 4 269

 

· Закон сохранения проекции момента импульса системы частиц:

если M внеш = 0, то L = const.

z z

· Радиус-вектор центра масс

� 1 �

rC = m å mi ri, m = å mi

i � i

где mi и ri – масса и радиус-вектор i частицы.

· Скорость и ускорение центра масс

�

d

�

C

r vC = dt

�

и =

C

� dv

a

C dt

�

2 d

= rC

dt 2

· Ц-система — система отсчета, жестко связанная с центром масс и

·

перемещающаяся без вращения относительно инерциальной сис- темы отсчета.