Применение второй производной к выпуклости функции и к точкам перегиба. Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции.

Опр.1.

а) График дифференцируемой функции y=f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.

б)График функции называетсяy=f(x) выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Теорема: если функция y=f(x) во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f″ (x)˂ 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f″ (x)˃ 0, то график функции в этом интервале выпуклый вниз.

Точка перегиба - точка графика непрерывной функции y=f(x), определяющая его части разной выпуклости.

Достаточное условие существования точек перегиба: Если вторая производная f″ (x) при переходе через точку x ₒ, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой x ₒ есть точка перегиба

Вертикальная, горизонтальна

и наклонная асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки кривой y=f(x) стремится к 0 при х→х₀, (.)х может быть ∞, а х₀=

Вертикальная асимптота:

Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если:

(существует, если есть точки разрыва)

Наклонная асимптота:

Уравнение наклонной асимптоты: y=kx+b.

Если существует наклонная асимптота y=kx+b, то k и b находятся по формулам:

(1)

(2)

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (1) и (2), то прямая y=kx+b является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или равен бесконечности, то кривая y=f(x) наклонной асимптоты не имеет

В частности, если k =0, то y =b. Поэтому y=b – уравнение горизонтальной асимптоты.

Асимптоты графика функции y=f(x) при x →+∞ и x →−∞могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (1) и (2) следует отдельно рассматривать случай, когда x →−∞ и когда x →+∞

Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица основных интегралов.

Опр.1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b), если для любого x (a;b) выполняется равенство F′(x)=f(x) (1)

Опр.2. Совокупность всех первообразных φ(x) x (a,b) удовлетв. условию (1), т.е. φ′(x)=f(x), называется неопределенным интегралом.

Таким образом, по определению

Здесь f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, ∫- знаком неопределенного интеграла.

Теорема о существовании неопределенного интеграла: если функция y=f(x) непрерывна на (a;b), то для f(x) существует первообразная, а тогда существует и неопределенный интеграл.

Пусть F(x) – первообразная функции f(x), где ; тогда (2)

Док-во: рассм. правую часть (2) (F(x)+C)′= F′(x)+C′=f(x)⇒ F(x)+C – первообразная функции f(x)

Пусть φ(x) – другая первообразная функции f(x), причем T(x)≠F(x), тогда t′(x)=f(x) для имеем (T(x)-F(x))′=T′(x)-F′(x)=f(x)-f(x)=0, это значит, что T(x)=F(x)+C, чтд.

Сво-ва неопредел. Интеграла.

1) Дифференциал от интеграла d(S(f(x)dx)=d(F(x)+C=dF(x)+dC

Док-во: (S(f(x)dx)=d(F(x)+C=dF(x)+dC=dF(x)=F′(x)dx

Следствия (f(x)dx)′=f(x)dx

2)

3) - линейность

4) Инвариантность форм интегрирования

Пусть F(x) – первообразная f(x) ; U=T(x) - функция, φ′(x) , тогда

, где F(u) – первообразная функции f(u)

Таблица интегралов:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15)

21. Непосредственное интегрирование, подведение заданного выражения под знак дифференциала, примеры. Замена переменной в интеграле, подстановка. Интегрирование по частям, типы интегралов, для которых применяется интегрирование по частям.

П.1 метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведение данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала («подведение под знак дифференциала»):

 

 

Замена переменной в интеграле

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении переменной интегрирования. При этом интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводится. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку x=φ(t), где φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ′(t)dt на основании св-ва инвариантности формулы интегрирования неопр. интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и V=V(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=u∙dv + v∙du. Интегрируя это равенство,

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла , который является более простым или табличным.

Типы интегралов, для которых удобен метод интегрирования по частям.

1) Интегралы вида , , – многочлен, k – число. Удобно u=P(x), dv – все остальное

2) Интегралы вида , , , , . Удобно: P(x)dx=du, а за u обозначить остальные сомножители.

3) Интегралы вида , , где a и b – числа. За u можно принять функцию u=e^ax.

22. Дробно – рациональная функция (рациональная дробь). Четыре типа простейших дробей. Теорема о разложении рациональной дроби. Метод неопределенных коэффициентов, пример.

Опр.1. Дробно – рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение многочленов: (1), если n m, то дробно – рациональная функция неправильная, если n<m, nj (1) – правильная

Утв. Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Например:

4 типа простейших рациональных дробей

1) ; A,a – const

2) ; m≥2, m Z

3) ; A,B,p,q – const, D=p²-4q<0

4) ; m≥2; D<0

Теорема 1. Разложение правильно1 рациональной дроби на сумму простейших дробей:

Пусть прав. рацион. дробь , n<m, Qn(x)=(x-x₁)(x-x₁)²…(x-x₁)^k1(x-x₂)…(x-x₂)^k2…(x²+px+q)…(x²+p₀x+q_u)^qu , где действ. корни: х₁, х₂… имеют кратность соответственно k_1,k_2. тогда рацион. дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

(2)

- неопределенные коэффициенты

Для нахождения неопределенных коэффициентов используется метод уравнения левой и правой части.

Идея метода сравнения:

1) В правой части равенства (2) приводим к общему знаменателю , где S(x) – многочлен в неопр. коэф.

2) Т.е. в полученном равенстве равны знаменатели, а числители равны: Pn(x)=S(x)

3) Сравниваем коэф. при одинаковых степенях x, получим систему алгебраических линейных уравнений, относительно коэф. A,A₁…B,B₁.

Замечания: при нахождении неорп. коэф. в третьем пункте используют иногда смешанный прием, т.е. пусть x=x₁; x=x₂, из которых определяют неопр. коэф., если остаются неопр.коэф. применяют метод сравнения.