![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основні формули теорії ймовірностей
Оскільки в практичних умовах багаторазове відтворення досліду надзвичайно утруднено, для визначення ймовірностей одних випадкових подій по відомих ймовірностях інших подій, з ними пов'язаних, користуються теоремами теорії ймовірностей: теоремою додавання й теоремою добутку. Введемо визначення. Сумою двох подій А і В називається подія С, що перебуває в появі події А або події В або обох разом: С = А + В. Сума подій - логічна сума, вона називається диз'юнкцією й позначається спеціальним знаком: С = А È В. Добутком двох подій А і В називається подія С, що перебуває в спільній появі подій А і В: З = А * В. Добуток подій - логічний добуток, називається кон’юнкцією і також позначається спеціальним знаком: С = А Ç В. Протилежними називаються дві несумісних події А і `А, якщо вони складають повну групу. Подія А називається незалежною від події В, якщо імовірність події А не змінюється від того, відбулася подія В чи ні. Якщо ж імовірність події А залежить від того, відбулася подія В чи ні, то такі події називаються залежними. Імовірність події А, обчислена за умови, що подія В мала місце, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А|В). Розглянемо приклад. Нехай в урні три кулі, дві з яких білі, а третя - чорна. Одну за іншою з урни виймають дві кулі. Позначимо події А={перша вийнята куля виявилася білою} В={друга вийнята куля виявилася білою}. Імовірність події В залежить від того, відбулася подія А чи ні. Якщо подія А відбулася, то імовірність події В
Якщо ж подія А не відбулася, то імовірність події В буде іншою: якщо першою виявилася вийнятою чорна куля, то Теорема додавання Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (2.1) Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А і k - появі події В. Оскільки подія С перебуває в появі події А, якої сприяє m наслідків досліду або події В, якої сприяє k наслідків, то події С сприяють m+k наслідків досліду. Тоді імовірність події С за класичною формулою визначиться в такий спосіб:
Слідства теореми додавання: За методом математичної індукції (узагальнення) теорему додавання ймовірностей можна розповсюдити на будь-яке кінцеве число несумісних подій:
С = SАi P(SАi) = SP(Аi). Слідство 1. Якщо події А1, А2, …, Аi, …, Аn утворюють повну групу несумісних подій, то сума їхніх імовірностей дорівнює 1: P(SАi) = SP(Аi) = 1. (2.2) Слідство 2. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці: P(A) + P((A) = 1, звідки імовірність будь-якої випадкової події: P(A) = 1 - P((A). У випадку, коли дві події є сумісними, імовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус імовірність їхньої спільної появи: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А*В) (2.3) Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А, k - появі події В і l - появі події АВ. Оскільки подія С перебуває в появі події А, якої сприяє m наслідків досліду або події В, якої сприяє k наслідків, то події С сприяють m+k-l наслідків досліду. Тоді імовірність події С за класичною формулою визначиться в такий спосіб:
Теорема множення Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перша відбулася: Р(А * В) = Р(А) * Р(В|А). (2.4) Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А, k - появі події В і l - появі події АВ. Події АВ, сприяють l наслідків досліду:
Тоді імовірність події АВ визначиться в такий спосіб:
Якщо події А і В незалежні, то умовна ймовірність події В дорівнює безумовній імовірності цієї події, Р(В|А) = Р(В). Слідство. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій: Р(А * В) = Р(А) * Р(В) (2.5) Якщо маємо кілька незалежних подій:
Формула повної ймовірності Формула повної ймовірності є слідством двох теорем теорії ймовірностей. Нехай передбачається проведення досліду, про умови протікання якого можна зробити N взаємовиключних припущень (гіпотез). Умови протікання досліду (гіпотези) являють собою повну групу неспільних подій Н1, Н2,…, НN, імовірності яких Р(Нi) відомі. Деяка випадкова подія А може з'явитися при будь-яких умовах протікання досліду з різною ймовірністю. Уявимо подію А як суму несумісних подій: А=Н1А+Н2А+…+НNА.
Застосовуючи теореми додавання й множення, дістанемо:
Таким чином, повна безумовна ймовірність події А з урахуванням випадковості умов протікання досліду дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на умовну ймовірність події А при кожній з гіпотез.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 150; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.8.147 (0.009 с.) |