Определение скалярного произведения. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. (Скалярное произведение принято обозначать круглыми скобками.)

(4.1)

Используя представление проекции вектора на другой вектор, можно записать

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

5) = |a|²

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, вынося за скобки числовые множители.

Если вектора а и b заданы своими координатами: а = {X₁;Y₁;Z₁}, b = {X₂;Y₂;Z₂}, то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

ab = X₁ X₂+ Y₁ Y₂+ Z₁ Z₂.

7. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных компонентами в декартовой системе.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1) ,

2) , где − число,

3)

4) , если , , если .

Теорема. Если вектора и представлены в виде разложений по базису ,

, то скалярное произведение этих векторов равно следующему выражению:

Доказательство. Перемножив векторные многочлены a и b, получим:

 

 

8. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов. Проекция вектора на другой.

Угол. Вопрос 7.(для определения скалярного произв. векторов)

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Теорема. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению вектора на орт вектор .

Доказательство.

 

9. Определение векторного произведения векторов. Тройка векторов. Алгебраические и геометрические свойства. Площадь параллелограмма.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом

и удовлетворяющий трем требованиям:

1) вектор ортогонален к каждому из векторов и ,

2) длина вектора равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними.

3) упорядоченная тройка векторов является правой.

Определение. У порядоченная тройка некомпланарных векторов является правой, если, после приведения векторов к общему началу, вектор располагается так, что из его конца кратчайший поворот от к виден происходящим в направлении против часовой стрелки. (В противном случае тройка векторов считается левой.)

Это утверждение справедливо для тройки векторов и для системы декартовых координат в пространстве.

Векторное произведение имеет следующие алгебраические свойства:

1) , (антиперестановочность)

2) ,

3) ,

4) .

Теорема. Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Доказательство. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон на синус угла между ними, доказательство теоремы следует из формулы

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, то их векторное произведение имеет вид:

10. Векторное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах. Условия коллинеарности векторов.

Теорема 4.5. Если вектора представлены разложениями но базису

, (4.13)

то их векторное произведение имеет вид:

(4.14)

Доказательство. Перемножив векторные многочлены (4.13), получим, что

Строка (4.15) последнего выражения получена с учетом того, что

(4.16)

(Знак минус в этих произведениях получается вследствие нарушения порядка в тройке ортов .)

Очевидно, что выражение (4.15) есть разложение определителя (4.14) по элементам первой строки.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Если и , то доказательство необходимости и достаточности утверждения теоремы следует из (4.12) и того факта, что условие при также является необходимым и достаточным.

 

 

11. Смешанное произведение 3 векторов.Геометрическая интерпретация.Свойства. Условия компланарности 3 векторов.

Определение 4.4. Если векторное произведение умножитьскалярно на вектор , то число называется смешанным произведением векторов и .

Теорема 4.6. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах и , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же перемножаемые вектора компланарны, то их смешанное произведение ровно нулю.

Доказательство. Тривиальный случай коллинеарности векторов и исключим, так как векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Тогда, используя выражение (4.19), можно произвести следующее преобразование (4.20)

(Знак + берем в случае, если тройка векторов правая).

Если же вектора и компланарны, то вектор лежит в плоскости векторов и , следовательно и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Справедливо равенство

(4.21)

Объём параллелепипеда не зависит от того, какая пара векторов из тройки перемножается векторно. Знак произведения не изменяется, так как сохраняется порядок векторов и ориентация тройки векторов.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

12. Смешанное произведение векторов, заданных компонентами в декартовых координатах.

Теорема 4.7. Если три вектора представлены разложениями по базису

,

то их смешанное произведение равно следующему определителю:

(4.22)

Доказательство. Из формулы (4.15) следует, что:

Умножив скалярно этот вектор на вектор , получим,

(4.23)

Полученное выражение (4.23) есть разложение определителя (4.22) по элементам третьей строки. Теорема доказана.

 

13. Уравнение первой степени и прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Нормальный вектор. Прямая в отрезках.

Определение 5.1. Уравнение (5.1)

называется уравнением линии на плоскости относительно заданной системы координат, если ему удовлетворяют координаты точек, принадлежащих некоторой линии , и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих этой линии.

Определение 5.2. Линия называется алгебраической, если в некоторой прямоугольной системе координат есть полином некоторой степени.

Алгебраическая линия называется линией - го порядка если − полином степени .

Теорема 5.1. Если линия в некоторой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени , то и в другой прямоугольной системе координат степень уравнения будет равна .

Без доказательства.

Теорема 5.2. Если на плоскости фиксирована прямоугольная система координат , то любая прямая , принадлежащая плоскости, определяется в этой системе координат уравнением первой степени.

Доказательство. При специальном выборе системы координат, если ось совпадает с прямой, уравнение прямой «» совпадает с уравнением оси . В соответствии с утверждением теоремы 5.1 в любой другой прямоугольной системе координат степень уравнения сохранится.

Пусть уравнение прямой имеет вид:

(общее уравнение прямой),

(5.1)

Пусть задана точка , координаты которой удовлетворяют уравнению.

. (5.2)

Вычитая (5.2) из (5.1), получаем:

. (5.3)

Дадим векторное истолкование уравнения (5.3).

Пусть и − координаты некоторого вектора , а и −компоненты вектора , начало которого совпадает с точкой , а конец совпадает с произвольной точкой , принадлежащей прямой.

Очевидно, что скалярное произведение

является условием ортогональности векторов и .

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Уравнение прямой в отрезках.